حل مسألة: مجموع الأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

المسألة:
لنكن S مجموعة تحتوي على جميع الأعداد الطبيعية التي تكون أقل من 120، وذلك بشرط أن القاسم الأكبر المشترك بين أي عنصر في S والعدد 120 يكون يساوي واحد. ما هو مجموع جميع العناصر في S؟

الحل:
لفهم الحل، يجب أولاً أن نحدد الأعداد في S. لكي يكون القاسم الأكبر المشترك بين عنصر من S والعدد 120 يساوي واحد، يجب أن تكون تلك الأعداد تخلو من أي عامل مشترك بينها وبين 120.

نعلم أن 120 يمكن تحليلها إلى 2^3 * 3 * 5. لذا، لنجد الأعداد التي تفي بشرط القاسم الأكبر المشترك، يجب أن تكون خالية من هذه الأعداد الأولية.

أولاً، نستبعد جميع الأعداد التي تحتوي على 2 و 3 و 5 كعوامل. هذا يترك لنا الأعداد التي تتكون فقط من العوامل الباقية. أي الأعداد التي تكون عبارة عن أضعاف لأحد الأعداد 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 119.

الآن، نجمع هذه الأعداد للحصول على المجموع النهائي. يمكن تبسيط هذه العملية بتجميع أعداد كل من هذه العوامل بشكل منفصل، ثم ضربها جميعًا معًا. الناتج سيكون المجموع النهائي لعناصر S.

الآن، لنقوم بالحساب:
$S = 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 119$

$S = 1597$

إذا كانت حساباتي صحيحة، فإن المجموع النهائي لعناصر S هو 1597.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم القاسم الأكبر المشترك (HCF) وقوانين الأعداد الأولية. دعونا نقوم بفحص كل خطوة بعناية ونستخدم بعض القوانين المستخدمة:

المفاهيم المستخدمة:

1. القاسم الأكبر المشترك (HCF): يشير إلى العدد الأكبر الذي يقسم عددين معًا دون أن يتبقى باقي.
2. أعداد أولية: هي الأعداد التي لا يمكن قسمها على أي عدد آخر غير الواحد ونفسها.

الخطوات:

1. تحليل العدد 120:

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$

2. استبعاد الأعداد ذات العوامل المشتركة:

نقوم بإزالة الأعداد التي تحتوي على أياً من العوامل 2 و 3 و 5. هذا يترك لنا الأعداد التي تتكون فقط من العوامل الأولية الباقية.

$S = 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 119$

3. حساب المجموع:

نقوم بجمع هذه الأعداد للحصول على المجموع النهائي.

$S = 1597$

القوانين المستخدمة:

1. قانون القاسم الأكبر المشترك (HCF): لضمان أن العناصر في S لا تحتوي على أي عوامل مشتركة مع 120، نستخدم فكرة HCF = 1 للتأكد من عدم وجود قواسم مشتركة.
2. قوانين الأعداد الأولية: نستبعد الأعداد التي تحتوي على أي عوامل غير الأعداد الأولية.

هذه القوانين تساعدنا في فحص الأعداد وتحديد الأعداد التي تلبي شروط المسألة. من خلال استخدامها بنجاح، يمكننا الوصول إلى المجموع النهائي لعناصر S وهو 1597.