حل مسألة مثلث قائم باستخدام فيثاغورث (مسألة رياضيات)

في مثلث قائم الزاوية، يكون مجموع مربعات طول الأضلاع الثلاثة هو 1800. ما هو طول الوتر (الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة) في هذا المثلث؟

لنقم بتمثيل الأضلاع بالطول المناسب. فلنفترض أن الضلعين الآخرين يمثلان أطوال الساقين، والوتر (الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة) يمثل طول الوتر.

لنمثل الأضلاع بالطول a، b، وc، حيث:

• a و b هما طولي الساقين.
• c هو طول الوتر (الوتر هو الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة).

الآن لدينا معادلة تعبر عن الشرط المعطى:
$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$

ونعلم أيضاً أنه في مثلث قائم الزاوية، ينطبق مبدأ فيثاغورث:
$c^2 = a^2 + b^2$

نستخدم هذه المعلومات لحل المعادلة الأصلية:
$a^2 + b^2 + (a^2 + b^2) = 1800$

نجمع مربعي الساقين ونحل للوتر:
$2a^2 + 2b^2 = 1800$

نقسم على 2:
$a^2 + b^2 = 900$

وهذه المعادلة تعبر عن مبدأ فيثاغورث في المثلث. الآن، إذا كنا نعلم أن $a$ و $b$ هما طولا الساقين، يمكننا حساب طول الوتر $c$ باستخدام معادلة فيثاغورث:
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

نستخدم القيم المعطاة لنحسب طول الوتر:
$c = \sqrt{900} = 30$

إذاً، طول الوتر في هذا المثلث القائم الزاوي هو 30.

لنقم بحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً باستخدام القوانين الرياضية المعروفة، مع الإشارة إلى القوانين المستخدمة في كل خطوة.

المعطيات:
في مثلث قائم الزاوية، يكون مجموع مربعات طول الأضلاع الثلاثة هو 1800. نريد حساب طول الوتر الذي يقابل الزاوية القائمة.

التعبير عن المعطيات بواسطة الأضلاع:
لنمثل الأضلاع بالطول a، b، وc، حيث:

• $a$ و $b$ هما طولي الساقين.
• $c$ هو طول الوتر (الوتر هو الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة).

القانون الأساسي المستخدم:
في مثلث قائم الزاوية، ينطبق مبدأ فيثاغورث الذي يقول: “في مثلث قائم الزاوية، مجموع مربعي طولي الساقين يساوي مربع طول الوتر.” يُعبّر عن ذلك بالمعادلة:
$a^2 + b^2 = c^2$

الخطوات لحل المسألة:

1. كتابة المعادلة الأساسية:
   المعطاة في المسألة: $a^2 + b^2 + c^2 = 1800$

2. استخدام مبدأ فيثاغورث:
   نستخدم مبدأ فيثاغورث للتعبير عن المعادلة بشكل آخر:
   $a^2 + b^2 = c^2$

3. توسيع المعادلة:
   نقوم بتوسيع المعادلة الأساسية باستخدام مبدأ فيثاغورث:
   $a^2 + b^2 + (a^2 + b^2) = 1800$

4. تبسيط المعادلة:
   نجمع مربعي الساقين:
   $2a^2 + 2b^2 = 1800$

5. تقسيم المعادلة:
   نقوم بتقسيم المعادلة على 2 لتبسيطها:
   $a^2 + b^2 = 900$

6. استخدام فيثاغورث لحساب طول الوتر:
   نستخدم معادلة فيثاغورث لحساب طول الوتر:
   $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

7. حساب القيمة:
   نستخدم القيم المعطاة لحساب طول الوتر:
   $c = \sqrt{900} = 30$

باختصار، قمنا باستخدام قوانين فيثاغورث للتلاعب بالمعادلات وحساب طول الوتر في المثلث. هذه القوانين الأساسية في الهندسة الرياضية وتستخدم لحل مثلثات قائمة الزوايا.