حل مسألة: متعدد الدرجة الرابعة بجذرين متعددة (مسألة رياضيات)

المطلوب: العثور على متعدد ذو علامة فقرية من الدرجة $4$، في $x$، بمعاملات كسرية بحيث يكون $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ جذرًا للمتعدد.

الحل:
نعلم أن $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ هو جذر للمتعدد إذا وجدنا متعددًا يعطي قيمة صفر عند استبدال $x$ بـ $\sqrt{2} +\sqrt{3}$.

للبدء، نقوم بتكوين المتعدد باستخدام الجذر المعطى:

نقوم بترتيب المعادلة بحيث نحصل على تعبير لأحد الجذور بالعبارة الأخرى:

نربع الطرفين:

هنا نجد أن $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ يحقق الحل للمعادلة $x^2 – 2\sqrt{2}x – 1 = 0$.

الآن لنجد متعددًا ذا علامة فقرية بحيث يكون له هذا الجذر، نستخدم متعدد الـ Polynomials:

الآن نضرب كل المعاملات لنحصل على المتعدد المطلوب:

وهذا هو المتعدد المطلوب، بمعاملات كسرية، بحيث يكون $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ جذرًا له.

لحل المسألة وإيجاد المتعدد المطلوب، نحتاج إلى اتباع الخطوات التالية:

1. المعرفة الأساسية:

   • نعرف أن $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ هو جذر للمتعدد إذا كانت المعادلة التي يقوم بحلها تتبنى هذا الجذر.
   • نستخدم الخواص الأساسية للجذور، مثل قوانين الجمع والضرب للجذور.

2. تحويل التعبير:

   • نبدأ بتحويل الجذر المعطى إلى معادلة بواسطة $x$.
   • نحاول تمثيل الجذر المعطى بواسطة عبارات رياضية مألوفة.

3. تكوين المعادلة:

   • بما أن الجذر $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ موجود، نبدأ بتكوين المعادلة التي تحقق هذا الجذر.
   • نستخدم خاصية رفع الأس لتحويل التعبير الأول إلى متعدد بحيث يتضمن الجذر.

4. حساب الجذور الأخرى:

   • نقوم بحساب الجذور الأخرى للمعادلة باستخدام خواص الجذور والعمليات الجبرية.

5. تكوين المتعدد النهائي:

   • نضرب العوامل التي تمثل الجذور الأربعة للمعادلة للحصول على المتعدد النهائي.

6. التأكد من الحل:

   • نتأكد من أن المتعدد النهائي يحقق الشرط الأساسي، وهو أن يكون له الجذر المعطى.

القوانين المستخدمة:

• قانون الجمع والضرب للجذور: استخدمنا هذه القواعد لتحويل التعبيرات وتوسيعها.
• قوانين الأسس والجذور: تم استخدامها لتحويل التعبيرات وحساب الجذور.
• ضرب العوامل: استخدمنا هذه العملية لتكوين المتعدد النهائي بعد حساب الجذور الأربعة.

من خلال هذه الخطوات واستخدام القوانين المذكورة، تمكنا من حل المسألة وإيجاد المتعدد المطلوب بشكل صحيح.