حل مسألة: متعامدية الفيكتورات والضرب الداخلي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي إيجاد قيمة متغير $y$ التي تجعل النواتج النهائية لعملية الضرب الداخلي بين القطبين (الفيكتورين) المعطيين تساوي صفر، مما يدل على أن الفيكتورين متعامدة على بعضها البعض.

الفيكتور الأول: $\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}$

الفيكتور الثاني: $\begin{pmatrix} -2 \\ y \\ -1 \end{pmatrix}$

لنحسب الضرب الداخلي بين الفيكتورين ونجعله يساوي صفر:

$(1) \times (-2) + (-3) \times (y) + (-4) \times (-1) = 0$

بعد الحساب:

$-2 – 3y + 4 = 0$

$2 – 3y = 0$

$-3y = -2$

$y = \frac{2}{3}$

إذاً، القيمة التي تجعل الفيكتورين متعامدين هي $y = \frac{2}{3}$.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الضرب الداخلي بين الفيكتورات وشرط المتعامدية بينهما. الضرب الداخلي بين الفيكتورات يعطينا قيمة تعبر عن تشابه الاتجاهات بينهما، وإذا كانت هذه القيمة تساوي صفر، فإن الفيكتورات متعامدة على بعضها البعض.

للقيام بعملية الضرب الداخلي بين الفيكتورين $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ y \\ -1 \end{pmatrix}$، نستخدم القاعدة التالية لحساب الضرب الداخلي:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

حيث $a_1, a_2, a_3$ هي مكونات الفيكتور $\mathbf{a}$، و $b_1, b_2, b_3$ هي مكونات الفيكتور $\mathbf{b}$.

إذاً، نقوم بالضرب الداخلي كالتالي:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1) \times (-2) + (-3) \times y + (-4) \times (-1)$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2 – 3y + 4$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 – 3y$

الشرط للتعامد بين الفيكتورات هو أن نجد قيمة للمتغير $y$ تجعل الناتج $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ يساوي صفر، لأن عندما يكون الضرب الداخلي صفرًا، فإن الفيكتورات متعامدة.

$2 – 3y = 0$

$-3y = -2$

$y = \frac{2}{3}$

بالتالي، قيمة $y = \frac{2}{3}$ تجعل الفيكتورين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ متعامدين على بعضهما البعض.

القانون المستخدم هو قانون الضرب الداخلي بين الفيكتورات والذي يقول إن الضرب الداخلي بين فيكتورين يمثل الناتج النهائي لضرب مكوناتهما ويمكن استخدامه لتحديد التوازي أو التعامد بين الفيكتورات.