المتتابعة الهندسية هي تسلسل من الأعداد حيث يتم ضرب كل عنصر في العدد الذي يسبقه بثابت معين يُعرف بمعدل النسبة. في المتتابعة الهندسية، يُمكن التعبير عن أي عنصر في التسلسل بالعلاقة التالية: $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$، حيث $a_n$ هو العنصر الذي يأتي في الموقع $n$، $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل، و $r$ هو معدل النسبة.
في هذه المتتابعة الهندسية، لدينا العناصر التالية: $2$، $6x$، $18x^2$، $54x^3$، وما إلى ذلك.
لحساب العنصر التالي في التسلسل، يجب أولاً معرفة معدل النسبة. يُمكننا العثور على معدل النسبة بقسمة أي عنصر في التسلسل على العنصر الذي يسبقه. على سبيل المثال:
نجد أن معدل النسبة هو $3x$.
بعد تحديد معدل النسبة، يمكننا استخدامه لحساب العنصر التالي في التسلسل. العنصر القادم هو العنصر السابق مضروبًا في معدل النسبة. لذا، يكون العنصر الخامس هو:
وبالتالي، يكون العنصر الخامس في التسلسل هو $162x^4$.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، نحن معرضون لمتتابعة هندسية حيث يبدأ العدد الأول بالقيمة 2، ويتبعه عددان متتابعان، والعدد الأول هو والعدد الثاني هو ، والعدد الثالث هو ، والعدد الرابع هو ، ونريد أن نحدد العدد التالي في المتتابعة.
نحن نحتاج إلى تحديد معدل النسبة في المتتابعة الهندسية. يتم تحديد معدل النسبة عن طريق قسم أي عنصر في المتتابعة على العنصر الذي يسبقه. في هذه الحالة:
وعند تطبيق هذه الصيغة على عناصر المتتابعة المعطاة، نجد أنها تتوافق مع معادلة المتتابعة الهندسية التقليدية، وتعطي قيمة ثابتة لمعدل النسبة.
بما أن جميع النسب متساوية (بمعنى أن )، نستخدم هذا النسب لحساب العنصر التالي في المتتابعة. لذا، يكون العنصر الخامس في المتتابعة متساويًا:
وباستخدام القاعدة السابقة، نحصل على العنصر التالي:
لذا، العنصر التالي في المتتابعة هو .
في هذا الحل، استخدمنا قانون المتتابعة الهندسية والذي يقول إن كل عنصر في المتتابعة يساوي العنصر السابق مضروبًا في معدل النسبة، حيث تمثل معدل النسبة وهو ثابت في متتابعة هندسية.