حل مسألة لوغاريتمية: قيمة x x x في المعادلة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كان $\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$، ما قيمة x؟

الحل:
لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق بعض الخطوات الرياضية.

أولاً، نستخدم خاصية اللوغاريتمات لتحويل المعادلة إلى صورة أكثر بساطة. لدينا:

$\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم حيث $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$، لذا يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$\log_2 (x^2) \cdot \log_{1/2} x = 5$

الآن، لدينا قاعدين مختلفين. لكن بما أننا نريد حل المعادلة، فسنقوم بتغيير قاعدة واحدة لتتناسب مع القاعدة الأخرى. نعلم أن $\log_{1/2} x = \frac{1}{\log_2 x}$، لذا نستبدل $\log_{1/2} x$ بقيمتها البديلة:

$\log_2 (x^2) + \frac{1}{\log_2 x} = 5$

الآن، لدينا معادلة تحتوي على لوغاريتمات بنفس القاعدة. نلاحظ أن اللوغاريتمات هنا هي جذرية بالنسبة لـ x، لذا يمكننا تحويل المعادلة إلى شكل يحتوي على قوى مثل التالي:

$2^5 = x^2 \cdot x^{\frac{1}{\log_2 x}}$

نقوم بتبسيط القوى، حيث $2^5 = 32$:

$32 = x^2 \cdot x^{\frac{1}{\log_2 x}}$

الآن، نقوم بجمع الأسس نظرياً:

$32 = x^{2 + \frac{1}{\log_2 x}}$

والآن، نحاول التخلص من اللوغاريتم، ونلاحظ أن $\frac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$:

$32 = x^{2 + \log_x 2}$

المعادلة الآن تبدو متشابهة مع المعادلات التي تتعلق بقوانين الأسس، لذا نحاول التعبير عن كل قسم بنفس الأساس. نعلم أن $2 = x^{\log_x 2}$:

$32 = x^2 \cdot (x^{\log_x 2})$

نجمع الأسس:

$32 = x^{2 + \log_x 2}$

والآن، المعادلة تبدو متناسقة. نلاحظ أنها تأخذ شكل متطابق مع قاعدة الأسس، لذا يجب أن يكون الأس الموجود في الجذر متساوياً. إذاً:

$2 + \log_x 2 = 1$

ومن ثم:

$\log_x 2 = -1$

نحل هذه المعادلة للحصول على قيمة x. نعلم أن $\log_x 2 = -1$ يعني أن $x^{-1} = 2$. بما أن $x^{-1} = \frac{1}{x}$، فإنه يجب أن يكون $x = \frac{1}{2}$.

إذاً، القيمة التي تجعل المعادلة $\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$ صحيحة هي $x = \frac{1}{2}$.

لحل المسألة $\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$ وتحديد قيمة $x$، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين من الجبر وخصائص اللوغاريتمات.

الخطوات الأساسية التي استخدمناها في الحل تشمل:

1. قاعدة اللوغاريتم: $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$.
2. تغيير القاعدة: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
3. التبسيط الجبري للأسس: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
4. تبسيط الأس: $a^{\log_a b} = b$.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المعادلة المعطاة:

المعادلة المعطاة: $\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$.

1. نستخدم قاعدة اللوغاريتم لدمج اللوغاريتمات:
   $\log_2 (x^2) + \log_{1/2} x = 5$.

2. ثم نستخدم قاعدة تغيير القاعدة للتخلص من قاعدة اللوغاريتم $\frac{1}{2}$ وتحويلها إلى قاعدة $2$:
   $\log_2 (x^2) + \frac{1}{\log_2 x} = 5$.

3. بعد ذلك، نستخدم التبسيط للأس لدمج الأسس في معادلة واحدة:
   $2^5 = x^2 \cdot x^{\frac{1}{\log_2 x}}$.

4. نحل المعادلة بتبسيط الأس إلى قوة:
   $32 = x^{2 + \frac{1}{\log_2 x}}$.

5. نستخدم مرة أخرى قاعدة تغيير القاعدة لتحويل الجذر إلى قوة:
   $32 = x^{2 + \log_x 2}$.

6. نستخدم الخاصية التي تقول إن $x^{\log_x b} = b$ للتخلص من اللوغاريتم:
   $32 = x^2 \cdot 2$.

7. أخيرًا، نحل للحصول على قيمة $x$، والتي تكون $x = \frac{1}{2}$.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نتمكن من حل المسألة وتحديد قيمة $x$.