حل مسألة لوغاريتمات: قيمة $(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3)$ (مسألة رياضيات)

إذا كان $x < 1$ و $(\log_{10} x)^2 - \log_{10}(x^2) = 48$، فما قيمة $(\log_{10}x)^3 - \log_{10}(x^3)$؟

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل المعادلة المعطاة بعناية أولاً، ثم سنستخدم الخواص الأساسية للوغاريتمات لحساب القيمة المطلوبة.

المعادلة المعطاة هي:

$(\log_{10} x)^2 – \log_{10}(x^2) = 48$

نعرف أن:

$\log_{10}(x^2) = 2\log_{10}x$

ونستخدم هذا المعرف في المعادلة للحصول على:

$(\log_{10} x)^2 – 2\log_{10}x = 48$

لنقم بعملية تبديل المتغيرات لنسهل علينا الحساب، فلنفترض:

$y = \log_{10}x$

وباستخدام هذا التعريف، نحصل على المعادلة الجديدة:

$y^2 – 2y = 48$

الآن، نقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى معادلة من الدرجة الثانية قابلة للحل:

$y^2 – 2y – 48 = 0$

الآن، نقوم بحل هذه المعادلة الثانوية باستخدام الطريقة التقليدية لحل المعادلات الثانوية. يمكن استخدام العوامل أو الصيغة العامة:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$ و $b = -2$ و $c = -48$.

$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{2}$

$y = \frac{2 \pm 14}{2}$

الآن، لدينا حلين محتملين:

1. عند استخدام $+$:
   $y = \frac{2 + 14}{2} = 8$

2. عند استخدام $-$:
   $y = \frac{2 – 14}{2} = -6$

لكننا نعلم أن $x < 1$، لذلك نختار القيمة السالبة: $y = -6$.

الآن، نحسب القيمة المطلوبة:

$(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3) = (y)^3 – \log_{10}(10^{3y})$

$= (-6)^3 – \log_{10}(10^{-18})$

$= -216 + 18$

$= -198$

إذاً، القيمة المطلوبة هي $-198$.

لحل المسألة واستنتاج قيمة $(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3)$، سنتبع الخطوات التالية:

1. تحليل المعادلة الأولى:

المعادلة الأولى التي نعطيها هي:

$(\log_{10} x)^2 – \log_{10}(x^2) = 48$

نحن بحاجة إلى استخدام القوانين الأساسية للوغاريتمات لتبسيط المعادلة والوصول إلى شكل قابل للحل.

2. الاستخدام الأول للقوانين:

من المعرفات الأساسية:

$\log_{10}(x^2) = 2\log_{10}x$

نستخدم هذه المعادلة لتبسيط المعادلة الأولى:

$(\log_{10} x)^2 – 2\log_{10}x = 48$

3. تعويض المتغير:

فلنفترض:
$y = \log_{10}x$

وباستخدام هذا التعريف، نحصل على المعادلة الجديدة:

$y^2 – 2y = 48$

4. حل المعادلة الثانوية:

نحتاج إلى حل المعادلة الثانوية $y^2 – 2y – 48 = 0$ باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلات الثانوية.

5. الخيار الصحيح:

نحصل على حلين محتملين للمعادلة الثانوية، ولكن نختار الحل المناسب وفقًا لشروط المسألة، وهو القيمة السالبة $y = -6$ لأننا نعلم أن $x < 1$.

6. حساب القيمة المطلوبة:

نقوم بتطبيق القيمة المحسوبة في العبارة المطلوبة:

$(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3) = (y)^3 – \log_{10}(10^{3y})$

$= (-6)^3 – \log_{10}(10^{-18})$

$= -216 + 18$

$= -198$

7. استخدام القوانين:

في الحل، استخدمنا القوانين التالية:

• قانون تحويل أساس اللوغاريتم: $\log_{10}(x^2) = 2\log_{10}x$
• قانون ضرب اللوغاريتمات: $\log_{10}(ab) = \log_{10}a + \log_{10}b$
• قانون قوة اللوغاريتم: $\log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10}a$

8. النتيجة النهائية:

القيمة المطلوبة هي $-198$.

بهذه الطريقة، تم حل المسألة بالتفصيل وباستخدام القوانين الأساسية للوغاريتمات، مما أدى إلى الوصول إلى الإجابة النهائية.