حل مسألة: قيم الكوساين والزوايا (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة الكوساين للزاوية $x$ تساوي صفر، وقيمة الكوساين للمجموع $(x+z)$ تساوي $\frac{1}{2}$، فما هي أصغر قيمة ممكنة للزاوية $z$ بشكل إيجابي؟

لنبدأ بحل المعادلتين:

1. معادلة $\cos x = 0$ تحدد أن $x$ هي الزاوية التي يكون فيها الكوساين صفر. في الدائرة الوحدة، يتمثل هذا على الأغلب في $x = \frac{\pi}{2}$ و $x = \frac{3\pi}{2}$ وما إلى ذلك. ولكن بما أننا نبحث عن أصغر قيمة إيجابية لـ $z$، فإن الزاوية $x$ يجب أن تكون $\frac{\pi}{2}$.

2. معادلة $\cos(x+z) = \frac{1}{2}$ تعني أن قيمة الكوساين للمجموع $(x+z)$ تساوي $\frac{1}{2}$. ومن المعروف أن $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$، إذاً $x + z = \frac{\pi}{3}$ أو $x + z = \frac{5\pi}{3}$.

لكن نعلم أن $x = \frac{\pi}{2}$، لذا:

1. عندما نستبدل في المعادلة الأولى، نجد أن $\frac{\pi}{2} + z = \frac{\pi}{3}$، إذاً $z = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{2}$.

2. القيمة الأخرى لـ $x + z$ تساوي $\frac{5\pi}{3}$. إذاً $\frac{\pi}{2} + z = \frac{5\pi}{3}$، وبالتالي $z = \frac{5\pi}{3} – \frac{\pi}{2}$.

الآن، يبقى حساب أصغر قيمة إيجابية لـ $z$ من بين القيمتين:

1. $z_1 = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$ (لكن نريد أصغر قيمة إيجابية).

2. $z_2 = \frac{5\pi}{3} – \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$.

وبالتالي، أصغر قيمة إيجابية لـ $z$ هي $z = \frac{\pi}{6}$ راديان.

لحل المسألة، سنستخدم المعرفة المتعلقة بالدوال الزاوية والعلاقات الزاوية في دائرة الوحدة. القوانين المستخدمة تشمل:

1. تعريفات الدوال الزاوية: مثل تعريفات الجيب والساين والتانجنت، والتي تعتمد على نسب الأضلاع في المثلثات القائمة.

2. دائرة الوحدة: هي دائرة نقطتها المركزية في الأصل (0,0) ونصف قطرها 1، تستخدم لتمثيل قيم الدوال الزاوية.

3. معادلات الدوال الزاوية: مثل معادلة $\cos x = 0$ التي تعني أن قيمة الكوساين تساوي صفر، ومعادلة $\cos(x+z) = \frac{1}{2}$ التي تحدد قيمة الكوساين لزاوية معينة.

4. المعادلات الزاوية: استخدام العلاقات بين الزوايا المختلفة في المثلثات والدوال الزاوية.

بالنظر إلى المسألة، نستخدم هذه القوانين كالتالي:

1. نستخدم تعريف الكوساين لحساب قيم الزوايا. عندما نقول $\cos x = 0$، فإننا نفهم أن الزاوية $x$ تكون في الربع الثاني أو الربع الرابع حيث يكون الكوساين صفراً.

2. باستخدام المعادلة $\cos(x+z) = \frac{1}{2}$، نحتاج إلى معرفة الزاوية $x$ أولاً. لحل هذه المعادلة، نستخدم المعرفة بأن $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

3. نحسب القيم الممكنة للزاوية $z$ بعد معرفة القيم الممكنة للزاوية $x$.

4. نستخدم العلاقات الزاوية لحساب القيم الممكنة للزاوية $z$ ونختار القيمة الصحيحة بناءً على المتطلبات الرياضية والهندسية.

بهذه الطريقة، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم كامل للعلاقات الرياضية والهندسية التي تعتمد على الدوال الزاوية والمثلثات.