حل مسألة: قيمة K لجعل Z مربعًا كاملاً (مسألة رياضيات)

إذا كانت $Z$ و $K$ عددين صحيحين بحيث $500 < Z < 1000$ و $K > 1$، و $Z = K \times K^2$، فما قيمة $K$ التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً؟

لنقم بتحليل المعطيات في المسألة:

1. $Z = K \times K^2$: هذه العلاقة تعني أن $Z$ هو المنتج الناتج عن ضرب عدد صحيح $K$ في نفسه مرتين.
2. $500 < Z < 1000$: هذا يعني أن $Z$ يتراوح بين 500 و 1000.

نريد أن نجد قيمة $K$ التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً. لكي يكون $Z$ مربعًا كاملاً، يجب أن يكون لها جذرٌ مربعيٌّا صحيحًا.

لنقم بتحليل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلًا:
إذا كان $Z$ يعبر عن المربع الكامل لعدد صحيح $K$، فإننا نقدر أن $Z = K^3$. لذا، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:

$K^3 = K \times K^2$

نلاحظ أن القوة العظمى لعدد $K$ في المعادلة هي 3، لذا إذا كانت $K$ تحقق هذه الشرطات فإن الحد الأدنى لـ $K$ هو 2.

من المعادلة، يتضح أنه لكي يكون $Z$ مربعًا كاملاً، يجب أن يكون $K^2$ مربعًا كاملًا أيضًا. لكي يكون $K^2$ مربعًا كاملاً، يجب أن يكون $K$ عددًا صحيحًا. ومن الواضح أن أقل قيمة يمكن أن يكون عليها $K$ هي 2.

لذا، للعثور على القيمة الصحيحة لـ $K$، يجب أن نحسب القيم الممكنة لـ $K$ بدءًا من 2 ونتحقق مما إذا كانت تلبي شرط $500 < Z < 1000$.

لنجرب القيم المختلفة لـ $K$:

• عند $K = 2$: $Z = 2 \times 2^2 = 8$
• عند $K = 3$: $Z = 3 \times 3^2 = 27$
• عند $K = 4$: $Z = 4 \times 4^2 = 64$
• عند $K = 5$: $Z = 5 \times 5^2 = 125$
• عند $K = 6$: $Z = 6 \times 6^2 = 216$
• عند $K = 7$: $Z = 7 \times 7^2 = 343$
• عند $K = 8$: $Z = 8 \times 8^2 = 512$
• عند $K = 9$: $Z = 9 \times 9^2 = 729$
• عند $K = 10$: $Z = 10 \times 10^2 = 1000$

من هذه القيم، نجد أن القيمة الوحيدة التي تقع بين 500 و 1000 هي $Z = 512$ عند $K = 8$. لذا، القيمة التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً هي $K = 8$.

لحل المسألة وإيجاد قيمة $K$ التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. فهم المسألة: نعرف أن $Z$ و $K$ هما عددين صحيحين، حيث $500 < Z < 1000$ و $K > 1$، وأن $Z = K \times K^2$، ونحن نريد أن نجد قيمة $K$ التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً.

2. استخدام الخصائص الرياضية: نستخدم خاصية الأعداد المربعة والقوانين الحسابية لحل المسألة.

   • القاعدة الرئيسية هي أن $Z$ هو المنتج الناتج عن ضرب $K$ في نفسه مرتين، أي $Z = K^3$.

3. تحليل الشروط المطلوبة: نحتاج للبحث عن القيمة المناسبة لـ $K$ التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً، وذلك بالتأكد من أن $Z$ تقع في النطاق $500 < Z < 1000$.

4. التحقق من القيم الممكنة لـ $K$: نبدأ باختبار القيم الممكنة لـ $K$ للوصول إلى القيمة المناسبة.

   • يجب أن تكون $K$ عددًا صحيحًا وأكبر من 1 لأنه غير مسموح بأن يكون صفر أو سالب.
   • بما أننا نبحث عن قيمة تجعل $Z$ مربعًا كاملاً، فنحتاج إلى التأكد من أن $K^2$ هو عدد صحيح.

5. حساب القيم الممكنة لـ $Z$ و $K$: نستخدم القوانين الحسابية لحساب القيم المختلفة لـ $Z$ عند استخدام قيم مختلفة لـ $K$، ثم نتحقق مما إذا كانت تلبي الشروط المطلوبة.

6. التحقق من الشروط النهائية: نتأكد من أن القيمة التي نجدها لـ $Z$ تقع ضمن النطاق المطلوب $500 < Z < 1000$.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، نستطيع الوصول إلى الحل الصحيح للمسألة وتحديد قيمة $K$ التي تجعل $Z$ مربعًا كاملاً، وذلك بتجريب القيم المختلفة لـ $K$ والتحقق مما إذا كانت تلبي الشروط المطلوبة.