حل مسألة: قيمة k في دالة رياضية (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x) = \cot(\frac{x}{4}) – \cot(x)$ يمكن تعبيرها على أنها $f(x) = \frac{\sin(kx)}{\sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x)}$. نريد تحديد قيمة $k$.

لنقوم بحل المسألة:

نعلم أن $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

نستخدم الهوية المثلثية $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ لتعويض قيمة $\cot(\frac{x}{4})$ و $\cot(x)$ في الدالة $f(x)$:

$f(x) = \frac{\cos(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x) – \cos(x) \cdot \sin(\frac{x}{4})}{\sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x)}$

الآن، سنقوم بضرب كل جزء في العداد والمقام بـ $\sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x)$ لتسهيل الحسابات، مما يؤدي إلى:

$f(x) \cdot \sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x) = \cos(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x) – \cos(x) \cdot \sin(\frac{x}{4})$

الآن، سنستخدم الهويات المثلثية لجدول قيم $\sin(\frac{x}{4})$ و $\sin(x)$ و $\cos(\frac{x}{4})$ و $\cos(x)$، ونضعها في المعادلة:

$f(x) \cdot \sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x) = (\sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x)) \cdot (\cos(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x) – \cos(x) \cdot \sin(\frac{x}{4}))$

بتبسيط العبارة، نحصل على:

$f(x) \cdot \sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x) = \sin(x) \cdot (\sin(\frac{x}{4}) \cdot \cos(\frac{x}{4}) – \cos(x) \cdot \sin(\frac{x}{4}))$

الآن، لمعرفة قيمة $k$، نقارن العبارة المعطاة مع العبارة المطلوبة $\frac{\sin(kx)}{\sin(\frac{x}{4}) \cdot \sin(x)}$.

من المقارنة، نلاحظ أنه يجب أن تكون $k = 4$ لتتوافق العبارتين.

لذا، قيمة $k$ هي 4.

لحل المسألة وتحديد قيمة $k$ في الدالة $f(x) = \cot(\frac{x}{4}) – \cot(x)$ بالاستعانة بالهويات المثلثية والتحليل الجبري، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. استخدام الهوية المثلثية:
   لحل هذا النوع من المسائل، نحتاج إلى استخدام الهويات المثلثية الأساسية. في هذه المسألة، نحن نستخدم الهوية $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

2. استخدام الهويات المثلثية:
   نستخدم الهويات المثلثية الأساسية لتبسيط التعابير والتعامل مع الدوال الثلاثية.

3. تحليل العبارات:
   نحلل العبارات ونقارن بين العبارات المعطاة في السؤال والعبارات التي نقوم بتوليدها من الهويات المثلثية.

4. التعبير الجبري:
   نقوم بتطبيق العمليات الجبرية مثل الضرب والقسمة لتبسيط التعابير وتحديد القيم المطلوبة.

5. تحليل النتائج:
   نقوم بمقارنة النتائج لضمان توافقها مع المطلوب في السؤال.

بعد تطبيق هذه الخطوات، وجدنا أن قيمة $k$ يجب أن تكون 4.

هذا النوع من الحلول يعتمد على الفهم العميق للهويات المثلثية ومهارات الجبر، بالإضافة إلى القدرة على التفكير الإبداعي في تطبيق هذه الأسس على المسائل الرياضية المعقدة.