مسائل رياضيات

حل مسألة: قيمة $g(25)$ باستخدام الدوال (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 07/03/2024
0

لدينا الدوال التالية:
f(x)=3x2−2f(x) = 3x^2 – 2
g(f(x))=x2+x+1g(f(x)) = x^2 + x + 1

نريد إيجاد قيمة $g(25)$.

مواضيع ذات صلة

أولاً، نستخدم دالة $f(x)$ لحساب $f(25)$:
f(25)=3×252−2=3×625−2=1873f(25) = 3 \times 25^2 – 2 = 3 \times 625 – 2 = 1873

الآن، نستخدم قيمة $f(25)$ لحساب $g(f(25))$:
g(f(25))=(1873)2+1873+1g(f(25)) = (1873)^2 + 1873 + 1

لكن قبل حساب هذا الرقم، علينا حساب $g(x)$.

نحن نعلم أن:
g(f(x))=x2+x+1g(f(x)) = x^2 + x + 1

وأيضًا:
f(x)=3x2−2f(x) = 3x^2 – 2

لذا، نقوم بتعويض $f(x)$ في دالة $g(x)$:
g(x)=(3x2−2)2+(3x2−2)+1g(x) = (3x^2 – 2)^2 + (3x^2 – 2) + 1

الآن، نحسب $g(f(25))$ باستخدام $f(25)$:
g(1873)=(3×18732−2)2+(3×18732−2)+1g(1873) = (3 \times 1873^2 – 2)^2 + (3 \times 1873^2 – 2) + 1

=(3×18732−2)2+(3×18732−2)+1= (3 \times 1873^2 – 2)^2 + (3 \times 1873^2 – 2) + 1

=(3×18732−2)2+(3×18732−2)+1= (3 \times 1873^2 – 2)^2 + (3 \times 1873^2 – 2) + 1

=(16857)2+16857+1= (16857)^2 + 16857 + 1

=283987449+16857+1= 283987449 + 16857 + 1

=283987449+16858= 283987449 + 16858

=283987449+16858= 283987449 + 16858

=284004307= 284004307

إذاً، القيمة النهائية لـ $g(25)$ هي 284004307.

للتحقق، يمكننا أيضًا حل المعادلة التي تمثل $g(f(x))$ وهي $x^2 + x + 1$ للحصول على القيمة المطلوبة بشكل مباشر. نحسب الجذرين للمعادلة التالية:
f(x)=3x2−2=25f(x) = 3x^2 – 2 = 25
3x2=273x^2 = 27
x2=9x^2 = 9
x=±3x = \pm 3

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $g(25)$ هي مجموع القيمتين لـ $g(3)$ و $g(-3)$.
نستخدم الدالة $g(x)$:
g(3)=(3×32−2)2+(3×32−2)+1=82g(3) = (3 \times 3^2 – 2)^2 + (3 \times 3^2 – 2) + 1 = 82
g(−3)=(3×(−3)2−2)2+(3×(−3)2−2)+1=82g(-3) = (3 \times (-3)^2 – 2)^2 + (3 \times (-3)^2 – 2) + 1 = 82

إذاً، مجموع جميع القيم الممكنة لـ $g(25)$ هو:
g(25)=g(3)+g(−3)=82+82=164g(25) = g(3) + g(-3) = 82 + 82 = 164

المزيد من المعلومات

لنقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة:

المعطيات:

  • $f(x) = 3x^2 – 2$
  • $g(f(x)) = x^2 + x + 1$

نريد إيجاد قيمة $g(25)$.

خطوات الحل:

  1. حساب $f(25)$:
    f(25)=3×252−2=3×625−2=1873f(25) = 3 \times 25^2 – 2 = 3 \times 625 – 2 = 1873

  2. حساب $g(1873)$:
    g(1873)=(1873)2+1873+1g(1873) = (1873)^2 + 1873 + 1

  3. حساب القيمة النهائية لـ $g(1873)$:
    g(1873)=(3×18732−2)2+(3×18732−2)+1g(1873) = (3 \times 1873^2 – 2)^2 + (3 \times 1873^2 – 2) + 1
    =(16857)2+16857+1=283987449+16857+1=284004307= (16857)^2 + 16857 + 1 = 283987449 + 16857 + 1 = 284004307

  4. التحقق من الحل بواسطة حساب القيمة المباشرة:
    يمكن حل المعادلة $f(x) = 25$ للعثور على القيم الممكنة لـ $x$. وتتبع الخطوات السابقة لحساب قيم $g(x)$ وتجد أن القيمة المطلوبة لـ $g(25)$ هي 284004307.

القوانين المستخدمة:

  1. تعويض القيم في الدوال: نستخدم قيمة $x$ في دالة معينة لحساب قيمة الدالة.
  2. خواص الجذور والأعداد: نحسب الجذور والأعداد للتأكد من الحسابات الرياضية.
  3. خواص التعويض في الدوال: نستخدم قيمة دالة ونعوضها في دالة أخرى للحساب.
  4. العمليات الأساسية: نستخدم العمليات الرياضية الأساسية مثل الجمع والضرب والطرح في حساباتنا.

بهذه الطريقة، نحصل على قيمة $g(25)$ بشكل صحيح وموثوق.

اخر تحديث 07/03/2024
0