حل مسألة: قيمة العنصر الأول في تتابع هندسي (مسألة رياضيات)

نعطي أن البند الثالث في تتابع هندسي يساوي 12 والبند الرابع يساوي 16. نريد حساب قيمة البند الأول في هذا التتابع.

للقيام بذلك، يمكننا استخدام صيغة العلاقة بين أعضاء التتابع الهندسي:

$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

حيث:

• $a_n$ هو العنصر في الموقع n في التتابع.
• $a_1$ هو العنصر الأول في التتابع.
• $r$ هو النسبة الهندسية (النسبة بين أي عنصرين متتاليين في التتابع).

في هذه الحالة، لدينا $a_3 = 12$ و $a_4 = 16$. لنجد القيمة الخاصة بالنسبة الهندسية ($r$), يمكننا استخدام العلاقة:

$r = \sqrt{\frac{a_4}{a_3}}$

الآن، بمعرفتنا لقيمة $r$, يمكننا استخدام العلاقة الأولى لحساب قيمة $a_1$:

$a_1 = \frac{a_3}{r^{(3-1)}}$

الآن دعنا نقوم بحساب القيم:

$r = \sqrt{\frac{16}{12}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$

$a_1 = \frac{12}{\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^2}$

$a_1 = \frac{12}{\frac{4}{3}} = \frac{12 \times 3}{4} = 9$

إذاً، قيمة البند الأول في التتابع الهندسي هي 9.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونستخدم القوانين المتعلقة بالتتابع الهندسي. لنعتبر أن التتابع الهندسي لدينا هو:

$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$

حيث $a$ هو العنصر الأول و $r$ هو النسبة الهندسية بين العناصر المتتالية.

المعطيات في المسألة تشير إلى أن العنصر الثالث ($a_3$) يساوي 12 والعنصر الرابع ($a_4$) يساوي 16. القوانين التي سنستخدمها هي:

1. صيغة العنصر العام:
   $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

2. حساب النسبة الهندسية ($r$):
   $r = \sqrt{\frac{a_4}{a_3}}$

3. حساب العنصر الأول ($a_1$):
   $a_1 = \frac{a_3}{r^{(3-1)}}$

الآن، لنبدأ بحساب قيمة النسبة الهندسية ($r$):

$r = \sqrt{\frac{16}{12}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$

ثم نقوم بحساب العنصر الأول ($a_1$) باستخدام العلاقة:

$a_1 = \frac{a_3}{r^{(3-1)}} = \frac{12}{\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^2}$

التبسيط:

$a_1 = \frac{12}{\frac{4}{3}} = \frac{12 \times 3}{4} = 9$

إذاً، القيمة النهائية للعنصر الأول ($a_1$) هي 9. في هذا الحل، استخدمنا قوانين التتابع الهندسي للعثور على القيمة المطلوبة.