حل مسألة: قوانين الأس والضرب (مسألة رياضيات)

المعادلة هي: $16^3 \times 8^3 = 2^K$

لنبدأ بحل المعادلة. نعرف أن $16 = 2^4$ و $8 = 2^3$.

وبالتالي:
$16^3 \times 8^3 = (2^4)^3 \times (2^3)^3 = 2^{4 \times 3} \times 2^{3 \times 3} = 2^{12} \times 2^9 = 2^{12+9} = 2^{21}$

الآن، نعتبر المعادلة الجديدة: $2^{21} = 2^K$

لكن، نعلم أنه عندما يكون أس الأس يتم ضرب الأسين، لذلك:

$2^{21} = 2^K \Rightarrow K = 21$

إذاً، قيمة $K$ هي 21.

لحل المسألة، بدأنا بتفكيك الأسس واستخدمنا القوانين الجبرية الأساسية للأسس والقوى:

1. قانون الأس العام: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
2. قوانين الضرب: $a^m \times a^n = a^{m + n}$
3. قوانين الأسس: $a^m \times b^m = (a \times b)^m$

بدأنا بتعبير $16$ و $8$ بالأس العام $2$:
$16 = 2^4, \quad 8 = 2^3$

ثم استخدمنا قوانين الأس والضرب لحساب قيمة $16^3$ و $8^3$:
$16^3 \times 8^3 = (2^4)^3 \times (2^3)^3$

وبعد ذلك، قمنا بضرب الأسين معًا واستخدمنا قانون الضرب:
$= 2^{4 \times 3} \times 2^{3 \times 3} = 2^{12} \times 2^9$

ثم جمعنا الأسين معًا باستخدام قانون الضرب:
$= 2^{12 + 9} = 2^{21}$

وأخيرًا، قارننا $2^{21}$ بالتعبير $2^K$ للعثور على قيمة $K$، مما أدى إلى $K = 21$.

هذه الخطوات تعتمد على القوانين الأساسية للجبر والحساب العددي لتحويل التعابير الأسية وحساب الأسين والعمليات الحسابية الأساسية.