حل مسألة: قوانين الأس في الرياضيات (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي: $64^5 = 32^x$

لنقم بتحويل القوى إلى أسس مشتركة، نعلم أن $64 = 2^6$ و $32 = 2^5$. لذا، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$(2^6)^5 = (2^5)^x$

من خواص الأسس، نعرف أنه يمكننا ضرب الأسس عند جمع الأسس، لذا:

$2^{6 \times 5} = 2^{5 \times x}$

الآن، نستطيع تساوي الأسس للحصول على معادلة جديدة:

$2^{30} = 2^{5x}$

الآن، نستنتج أن $30 = 5x$ لأن قوى الأس تكون متساوية. لذا، يمكننا حل المعادلة للحصول على قيمة $x$:

$x = \frac{30}{5} = 6$

الآن أصبح لدينا قيمة $x$ وهي 6.

نحتاج الآن لحساب قيمة $2^{-x}$. بما أن $x = 6$, فإننا نحتاج إلى حساب $2^{-6}$.

$2^{-6}$ يعني أننا نقوم بتقسيم 1 على $2^6$، وهو ما يعادل $\frac{1}{64}$.

لذا، القيمة النهائية لـ $2^{-x}$ هي $\frac{1}{64}$

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض قوانين الأسس والقوى. هنا هي الخطوات بالتفصيل:

1. قانون الأس المتبادل: هذا القانون ينص على أنه يمكننا تبادل قوى الأس في حال كانت الأساسات متساوية. في المعادلة المعطاة، لدينا $64^5 = 32^x$، يمكننا تحويل 64 و 32 إلى قوى متساوية من العدد 2، حيث أن $64 = 2^6$ و $32 = 2^5$.

2. التبسيط باستخدام القوانين: نستخدم قوانين الأس لتبسيط المعادلة. بعد تحويل القوى إلى أسس مشتركة، نستخدم قانون الضرب لضرب الأسس عند جمع الأسس.

3. حل المعادلة: بعد التبسيط، نتمكن من مقارنة الأسين للحصول على معادلة جديدة تتضمن الأس المجهول $x$. نستخدم الخواص الجبرية لحل المعادلة.

4. الحساب النهائي: بمجرد حساب قيمة $x$، نستخدمها لحساب القيمة المطلوبة $2^{-x}$ عن طريق تطبيق قانون الأس المعكوس.

هذه الخطوات تساعدنا في فهم المسألة وحلها بشكل كامل ودقيق. يتمثل الحل في تحويل القوى إلى أسس مشتركة، ثم استخدام قوانين الأس للتبسيط وحل المعادلة المستحدثة، وأخيرًا استخدام قانون الأس المعكوس للحصول على القيمة النهائية.

هذا النهج يوفر لنا طريقة منطقية ومنهجية لحل المسألة الرياضية بدقة وفهم عميق للعمليات الجبرية والقوانين المستخدمة فيها.