حل مسألة: قطر الحلقة والكرة (مسألة رياضيات)

المسألة تتعلق بتحديد قطر أكبر كرة ممكن وضعها على الطاولة بحيث تلامس الكرة الكرة الأفقية والحلقة المُعطاة.

لنحدد القطر الأكبر للكرة. سنستخدم مبدأ الهندسة الفضائية ونستفيد من الرسم الهندسي المعطى. لنتذكر أن نقطة التماس بين الكرة والمستوى الأفقي هي نفسها نقطة التماس بين الكرة والحلقة.

لنرمز للقطر المطلوب بـ $d$، وسنجد القيمة المطلوبة لـ $X$.

القطر الكلي للكرة = $d$ + قطر الدائرة الصغيرة في الحلقة.

لنواجه التحدي بتحديد نقطة مركز الكرة. هذه النقطة تكون على الخط الذي يربط مركز الحلقة بمركز الكرة. بالنظر إلى الرسم الهندسي، نجد أن مركز الحلقة هو $(3, 0, 1)$، ومركز الكرة يكون على نفس المحور $z$، لذا سيكون لدينا $(0, 0, z)$.

نحتاج إلى معرفة الارتفاع $z$ من مركز الكرة إلى مستوى الطاولة. سيكون هذا الارتفاع يساوي مجموع نصف قطر الكرة وارتفاع مركز الكرة عن مستوى الطاولة، أي:
$z = \frac{d}{2} + 1$

بالنظر إلى الرسم، يتكون مثلث قائم الزاوية بين النقطة $(3,0,1)$ والنقطة $(0,0,z)$ ومركز الكرة. لذا، نستخدم مبرهنة فيثاغورث لحساب القيمة الشاملة لـ $d$.

$d^2 = (3-0)^2 + (0-0)^2 + (1-z)^2$
$d^2 = 9 + 1 + (1 – \frac{d}{2} – 1)^2$
$d^2 = 10 + (\frac{d}{2})^2$
$d^2 = 10 + \frac{d^2}{4}$
$4d^2 = 40 + d^2$
$3d^2 = 40$
$d^2 = \frac{40}{3}$

الآن، بمعرفة $d^2$، نستطيع حساب $d$.
$d = \sqrt{\frac{40}{3}}$

القطر الكلي للكرة هو $d + 2$. وهذا يساوي القطر الأكبر للحلقة + القطر الكلي للكرة.
$X + 4 = \sqrt{\frac{40}{3}} + 2$
$X = \sqrt{\frac{40}{3}} – 2$

وبالتالي، قيمة $X$ تكون:
$X = \sqrt{\frac{40}{3}} – 2$

حيث أن قيمة الجذر تقريباً تساوي 3.08، بالتالي:
$X \approx 3.08 – 2 = 1.08$

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهومات هندسية وجبرية متقدمة، بما في ذلك مبرهنة فيثاغورث ومفهوم نقاط التماس بين الأشكال الهندسية.

أولاً، لنتذكر أن المسألة تتعلق بوضع كرة على حلقة دونات على سطح مستوي. لذلك، نحتاج إلى حساب قطر الحلقة وارتفاع الكرة.

1. مبرهنة فيثاغورث:
   في هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مبرهنة فيثاغورث لحساب طول القطر للكرة على أساس المثلث القائم الزاوية الناتج من نقاط المراكز والنقطة التي تمثل تماس الكرة بالحلقة ونقطة الطاولة. هذا يعطينا علاقة بين أبعاد الكرة ومركزها.

2. معادلات الدائرة والتماس:
   نحتاج إلى فهم العلاقة بين نقطة مركز الحلقة ونقطة مركز الكرة ونقطة التماس، وهذا يستند إلى معادلات الدائرة والتماس بين الكرة والحلقة.

3. الهندسة الفضائية:
   يجب أن نفهم كيف يتم تمثيل الأشكال الثلاثية الأبعاد في الفضاء، وكيف يمكننا استخدام المعلومات الهندسية لتحديد النقاط والمسافات بينها بطريقة دقيقة.

4. الرياضيات التحليلية:
   سنحتاج أيضًا إلى استخدام الجبر والتحليل لحساب القيم الرقمية والعلاقات بين الأبعاد والمتغيرات في المسألة.

بالاعتماد على هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع تحليل الوضع بدقة وحساب القيم بطريقة دقيقة لتحديد قيمة $X$، الذي يمثل القطر الخارجي للحلقة الدوناتية.