حل مسألة: قسمة التعبير الثلاثي على التعبير التربيعي (مسألة رياضيات)

إذا كان التعبير التربيعي $x^2 – x – 1$ عاملاً للتعبير الثلاثي $ax^3 + bx^2 + 1$، حيث $a$ و $b$ عددين صحيحين، فما هو قيمة $b$؟

لنبدأ بتحليل التعبيرين:

التعبير التربيعي: $x^2 – x – 1$

التعبير الثلاثي: $ax^3 + bx^2 + 1$

الشرط الذي يجعل التعبير التربيعي عاملاً للتعبير الثلاثي هو أن يكون الباقي عند قسمة التعبير الثلاثي على التعبير التربيعي يساوي صفر.

لذا، سنقوم بالقسمة:

القسمة: $(ax^3 + bx^2 + 1) ÷ (x^2 – x – 1)$

الناتج المتوقع يكون عبارة عن تعبير ثنائي درجة، مما يعني أنه إذا كان التعبير الثلاثي عبارة عن عامل للتعبير التربيعي، فإن الباقي يجب أن يكون صفرًا.

نبدأ القسمة:

نستخدم القسمة الطويلة:

$ax^3 + bx^2 + 1 = (x^2 – x – 1)(cx + d)$

حيث $c$ و $d$ هما عوامل المجهول في التعبير الثنائي.

لنقوم بالضرب:

$(x^2 – x – 1)(cx + d) = cx^3 + dx^2 – cx^2 – dx – cx – d$

$= cx^3 + (d – c)x^2 – (c + d)x – d$

لمقارنتها مع التعبير الثلاثي الأصلي:

$ax^3 + bx^2 + 1$

نحتاج إلى مطابقة معاملات الأساسات المتشابهة.

لذا، نحصل على المعادلات التالية:

من المعادلة الرابعة، نعرف أن $d = -1$.

من المعادلة الثالثة، نستنتج أن $c = -d = 1$.

من المعادلة الثانية، نحصل على $d – c = b \implies -1 – 1 = b \implies b = -2$.

لذا، القيمة المطلوبة لـ $b$ هي $-2$.

المزيد من المعلومات