حل مسألة: قاعدة النظام الترقيمي (مسألة رياضيات)

في النظام الترقيمي الأساسي $b$، هناك مائة عدد مكون من ثلاثة أرقام يتألف من أرقام متميزة جميعها.

للعثور على قيمة $b$، يجب أولاً فهم كمية الأرقام المختلفة المتاحة لنا لكل موضع في العدد الثلاثي. لكي يكون لدينا عدد مكون من ثلاثة أرقام متميزة، يجب أن نختار ثلاثة أرقام من مجموعة الأرقام المتاحة.

للموضع الأول (المئات)، لدينا $b – 1$ خيارات (نستبعد الصفر واحد). للموضع الثاني (العشرات)، لدينا $b – 1$ خيارات (يمكن أن يكون أي رقم من $0$ إلى $b – 1$ ما عدا الرقم الذي اخترناه بالفعل للمئات)، وأخيرًا، للموضع الثالث (الوحدات)، لدينا $b – 2$ خيارات (يمكن أن يكون أي رقم من $0$ إلى $b – 1$ ما عدا الرقمين التي اخترناهما بالفعل للمئات والعشرات).

بالتالي، عدد الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام متميزة في النظام الترقيمي الأساسي $b$ هو $(b – 1) \times (b – 1) \times (b – 2)$.

ووفقًا للسؤال، هذا العدد يساوي 100.

إذاً، لدينا المعادلة:
$(b – 1) \times (b – 1) \times (b – 2) = 100$

الآن يجب علينا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $b$ المناسبة.

لكن قبل ذلك، لنقوم بتبسيط المعادلة:

$(b – 1)^2 \times (b – 2) = 100$

الآن نحن بحاجة إلى البحث عن زوج من الأعداد $(b – 1)$ حيث يكون إحداها مربعًا للعدد الآخر، مما يضمن أن نحصل على 100 كناتج نهائي.

القيم الممكنة لـ $(b – 1)$ هي: 1 و 2 و 4 و 5 و 10 و 20 و 25 و 50.

التجربة الأولى:
$(b – 1) = 1 \implies b = 2$
لا ينطبق هنا لأن الترقيم الأساسي لا يمكن أن يكون 2.

التجربة الثانية:
$(b – 1) = 2 \implies b = 3$
لا ينطبق هنا لأن الناتج النهائي أكبر من 100.

التجربة الثالثة:
$(b – 1) = 4 \implies b = 5$
ينطبق هنا، لأنه $(5 – 1)^2 \times (5 – 2) = 4^2 \times 3 = 16 \times 3 = 48$.

لذلك، القاعدة $b$ هي 5.

لذا فإن الإجابة هي $b = 5$.

لحل المسألة وإيجاد قيمة $b$، نستخدم القوانين التالية:

1. قانون اختيار الأرقام: في النظام الترقيمي الأساسي $b$، لا يمكننا استخدام الرقم صفر في المئات، ويمكننا استخدام أي رقم من 0 إلى $b-1$ في العشرات والوحدات.

2. قانون عدم التكرار: يجب أن تكون الأرقام المكونة للعدد مختلفة بالكامل، ولا يجوز تكرار الأرقام في العدد نفسه.

بناءً على القوانين المذكورة أعلاه، نقوم بتطبيق العمليات التالية:

• نختار الرقم المئات: لا يمكننا استخدام الصفر، لذا لدينا $b-1$ خيار.
• نختار الرقم العشرات: لدينا $b-1$ خيارات أيضًا، ولكن يجب أن يختلف عن الرقم المئات المختار سابقًا.
• نختار الرقم الوحدات: لدينا $b-2$ خيارات، حيث يمكن أن يكون أي رقم غير الرقم المئات والرقم العشرات اللذان اخترناهما بالفعل.

بما أن عدد الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام متميزة هو 100، فإننا نحصل على المعادلة التالية:
$(b – 1) \times (b – 1) \times (b – 2) = 100$

لحل هذه المعادلة، يجب تجريب القيم المختلفة لـ $(b – 1)$ والتحقق مما إذا كان ينتج عنها 100 أم لا.

بعد الحسابات، نجد أن قيمة $(b – 1)$ يمكن أن تكون 4، لأن:
$(4)^2 \times (4 – 2) = 16 \times 2 = 32$
وهو أقل من 100.

وقيمة $(b – 1)$ يمكن أن تكون 5، لأن:
$(5)^2 \times (5 – 2) = 25 \times 3 = 75$
وهو أقل من 100.

وقيمة $(b – 1)$ يمكن أن تكون 6، لأن:
$(6)^2 \times (6 – 2) = 36 \times 4 = 144$
وهو أكبر من 100، لذلك لا ينطبق.

وهنا تأتي القيمة المناسبة، $(b – 1) = 7$، لأن:
$(7)^2 \times (7 – 2) = 49 \times 5 = 245$
وهي أكبر من 100، لذلك لا تنطبق.

لذا، القيمة الصحيحة هي $(b – 1) = 4$، أي $b = 5$.

وبالتالي، القاعدة $b$ هي 5.