حل مسألة فيثاغورث: الضلع الأقصر (مسألة رياضيات)

في مثلث قائم الزاوية حيث تكون أطوال أضلاعه أعداد صحيحة، طول الوتر يساوي 39 وحدة. كم تكون طول الضلع الأقصر؟

لنحل هذه المسألة، نستخدم مبرهنة فيثاغورس التي تنص على أن في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

فلنعتبر $a$ و $b$ هما طولي الضلعين الأقصر وسنقوم بحساب قيمتيهما.

يتبع من مبرهنة فيثاغورس:
$a^2 + b^2 = c^2$

حيث $c$ هو طول الوتر (الوتر هو الوتر العريض)، وهنا قيمته تساوي 39 وحدة.

نستخدم قيمة $c = 39$ ونبدأ في حل المعادلة:
$a^2 + b^2 = 39^2$
$a^2 + b^2 = 1521$

الآن نحتاج إلى البحث عن الأزواج من الأعداد الصحيحة $a$ و $b$ التي يكون مجموع مربعيهما يساوي 1521.

لحل هذا، يمكننا البدء بتجربة الأعداد الصحيحة من 1 وما فوق، وذلك لمعرفة الأعداد التي ترتبط بمعادلتنا.

نبدأ بتجربة الأعداد، قد نجد أن لدينا الزوج الذي يجعل المعادلة صحيحة، وبالتالي يكون $a$ هو الضلع الأقصر المطلوب.

لكن يجب أن ننتبه أيضاً إلى أننا نبحث عن الأعداد الصحيحة الذي يعطينا جذرًا صحيحًا.

إذاً، من التجارب قد نجد أن أزواج الأعداد $a$ و $b$ التالية تنطبق مع معادلتنا:
$a = 15, b = 36$
$a = 36, b = 15$

إذاً، يمكننا أن نستنتج أن الضلع الأقصر هو 15 وحدة، وهو الإجابة على السؤال.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى الاستفادة من بعض القوانين الرياضية والمفاهيم الأساسية في الهندسة الرياضية، وهي كما يلي:

1. مبرهنة فيثاغورث: تنص هذه المبرهنة على أن في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. هذه المبرهنة تُمثِّل في المعادلة التالية:
   $a^2 + b^2 = c^2$
   حيث $a$ و$b$ هما طولي الضلعين الأقصرين في المثلث، و$c$ هو طول الوتر (الوتر العريض).

2. الأعداد الصحيحة: في المسألة المطروحة، يجب أن تكون أطوال الأضلاع أعداداً صحيحة، وهذا يعني أننا نبحث عن حلول تلبي هذا الشرط.

بعد فهم القوانين المذكورة أعلاه، نأخذ البيانات المعطاة في المسألة:

• طول الوتر (الوتر العريض) = 39 وحدة.

الآن، نستخدم مبرهنة فيثاغورث لحساب طول الضلع الأقصر. نقوم بتمثيل المعادلة كما يلي:

$a^2 + b^2 = 39^2$
$a^2 + b^2 = 1521$

نحتاج إلى إيجاد الأزواج من الأعداد الصحيحة $a$ و$b$ التي تجعل المعادلة السابقة صحيحة. نقوم بتجريب الأعداد الصحيحة للعثور على الحلول الممكنة. بعد التجريب، نجد أن الأزواج التالية تفي بالشرط:

$a = 15, b = 36$
$a = 36, b = 15$

لذا، يكون طول الضلع الأقصر في المثلث هو 15 وحدة، وهذا هو الجواب على المسألة.

باستخدام المبرهنة الرياضية ومفهوم الأعداد الصحيحة، نستطيع حساب طول الضلع الأقصر بدقة وفعالية.