حل مسألة فيبوناتشي بالقسمة والجبر (مسألة رياضيات)

نتعامل مع تسلسل فيبوناتشي الذي يبدأ بالأعداد 1، 1، 2، 3، 5، وهكذا، حيث يكون العنصر الأول والثاني هما X، وبعد ذلك يكون كل عنصر هو مجموع العنصرين السابقين. يطلق السؤال علينا لنجد قيمة X علماً بأن باقي قسمة العنصر رقم 100 من التسلسل على 8 هو 3.

لنقم بحساب العنصر الـ 100 من التسلسل باستخدام التسلسل نفسه. نبدأ بتعريف المتغيرات:

$F_1 = X$ و $F_2 = X$ تمثلان العناصر الأول والثاني من التسلسل.

ثم نستخدم العلاقة التالية لحساب باقي القسمة على 8:

$F_n \equiv F_{n-1} + F_{n-2} \pmod{8}$

بما أن الباقي على القسمة 3، فإننا نحتاج إلى حساب العنصر الـ 100 من التسلسل. سنقوم بحسابه بشكل تسلسلي باستخدام العلاقة أعلاه.

لكن قبل ذلك، يمكننا ملاحظة بعض الأنماط في تسلسل فيبوناتشي عند قسمته على 8:

• 1 ÷ 8 = 1
• 1 ÷ 8 = 1
• 2 ÷ 8 = 2
• 3 ÷ 8 = 3
• 5 ÷ 8 = 5
• 8 ÷ 8 = 0
• 13 ÷ 8 = 5
• 21 ÷ 8 = 5
• 34 ÷ 8 = 2
• 55 ÷ 8 = 7
• 89 ÷ 8 = 1

نرى أن الأعداد تتكرر كلما زادت الفترة. ونلاحظ أننا نبحث عن العنصر الذي يقسم عليه 8 ليكون 3.

سنحسب بعض العناصر من التسلسل حتى نجد النمط ونستنتج قيمة X بناءً على ذلك.

نبدأ بحساب عدد قليل من العناصر لنرى النمط:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots$

نرى أنه عندما يكون العنصر 4، فإنه يقسم على 8 وباقي القسمة 3. لذا:

$F_4 = F_3 + F_2 = 3 + 2 = 5$

الآن، نعرف أن $F_3 = F_2 + F_1 = 2 + X$، و $F_4 = F_3 + F_2$، ونريد $F_4 \mod 8 = 3$.

إذا،

$5 \equiv (2 + X) + 2 \pmod{8}$

نريد حل المعادلة:

$5 \equiv (2 + X) + 2 \pmod{8}$

$5 \equiv 4 + X \pmod{8}$

$X \equiv 5 – 4 \pmod{8}$

$X \equiv 1 \pmod{8}$

إذا، القيمة المجهولة X هي 1.

في هذه المسألة، نحاول حساب القيمة المجهولة $X$ في تسلسل فيبوناتشي باستخدام بعض القوانين الأساسية في الجبر والحساب المتقدم. القوانين المستخدمة تتضمن العلاقات الخاصة بتسلسل فيبوناتشي والقسمة العشرية.

المعطيات الرئيسية للمسألة هي:

1. تسلسل فيبوناتشي: هو تسلسل من الأعداد حيث يبدأ بالأعداد $X, X, 2, 3, 5, \ldots$ وكل عنصر يكون مجموع العناصر السابقة.
2. الباقي عند قسمة العنصر الـ 100 من التسلسل على 8 هو 3.

نستخدم القاعدة الأساسية لتسلسل فيبوناتشي:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

حيث $F_n$ هو العنصر الثالث، و $F_{n-1}$ و $F_{n-2}$ هما العناصر السابقة في التسلسل.

الآن، نقوم بحساب العنصر الـ 100 في التسلسل. ونستخدم العلاقة التالية لحساب الباقي عند قسمة العنصر على 8:

$F_n \equiv F_{n-1} + F_{n-2} \pmod{8}$

والشروط الأخرى هي:

$F_{100} \equiv 3 \pmod{8}$

لحل المسألة، نبدأ بحساب العنصر الرابع من التسلسل، لأنه يحتوي على الباقي الذي نبحث عنه:

$F_4 = F_3 + F_2$

ثم نقوم بحساب الباقي عند قسمة العنصر الرابع على 8:

$F_4 \mod 8$

ومن ثم نقوم بتطبيق القوانين الحسابية والجبرية لحل المعادلة التي تحتوي على المجهول $X$ ونعرفه بالقيمة الصحيحة التي تحقق الشرط المعطى.

بعد ذلك، نجد العنصر الذي يقسم عليه 8 ليعطي باقي 3، وبالتالي نحدد قيمة $X$ التي تناسب هذا الشرط. في هذه المسألة، وجدنا أن قيمة $X$ هي 1.