مسائل رياضيات

حل مسألة: عرض حاشية المسبح

المسألة الرياضية تتعلق بمسبح مستطيل الشكل بطول 20 قدمًا وعرض 18 قدمًا، ويحيط به حاشية بعرض متساوٍ. إجمالي مساحة المسبح والحاشية هو 624 قدمًا مربعًا. الهدف هو حساب عرض الحاشية.

لنفترض أن عرض الحاشية هو xx قدمًا. بناءً على ذلك، يمكننا كتابة المعادلة التالية للمساحة الإجمالية:

(20+2x)×(18+2x)=624(20 + 2x) \times (18 + 2x) = 624

التي تعبر عن حاصل ضرب الطول والعرض للمساحة الكلية. الآن، يجب علينا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة xx.

بعد الحسابات، نحصل على معادلة من الدرجة الثانية:

4x2+76x264=04x^2 + 76x – 264 = 0

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية. يتبع الحساب:

x=b±b24ac2ax = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}

حيث a=4a = 4 و b=76b = 76 و c=264c = -264. بعد التبسيط، نجد قيمتين لـ xx. نستبعد القيمة السالبة لأن عرض الحاشية لا يمكن أن يكون سالبًا، وبالتالي، نأخذ القيمة الإيجابية:

x=76+7624(4)(264)2(4)x = \frac{{-76 + \sqrt{{76^2 – 4(4)(-264)}}}}{{2(4)}}

بعد الحسابات، نحصل على x=4x = 4 قدم. إذاً، عرض الحاشية هو 4 قدم.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم المساحة والقوانين المتعلقة بالمستطيلات. لنقوم بفرز الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

الخطوة 1: تعريف المتغيرات

لنقم بتعريف المتغيرات التي سنستخدمها في المسألة. سنعتبر xx عرض الحاشية.

الخطوة 2: كتابة المعادلة للمساحة الإجمالية

نعلم أن المساحة الإجمالية هي ناتج ضرب الطول والعرض. لذلك، نقوم بكتابة المعادلة التالية:

(20+2x)×(18+2x)=624(20 + 2x) \times (18 + 2x) = 624

الخطوة 3: تبسيط المعادلة

نقوم بتوسيع وتبسيط المعادلة للوصول إلى معادلة من الدرجة الثانية:

4x2+76x264=04x^2 + 76x – 264 = 0

الخطوة 4: حل المعادلة باستخدام الصيغة العامة

نستخدم الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية:

x=b±b24ac2ax = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}

حيث a=4a = 4 و b=76b = 76 و c=264c = -264. نستخدم هذه الصيغة لحساب قيمة xx.

الخطوة 5: اختيار القيمة المناسبة

بعد الحساب، نجد قيمتين لـ xx. ولكن نستبعد القيمة السالبة لأن عرض الحاشية لا يمكن أن يكون سالبًا. إذاً، نأخذ القيمة الإيجابية.

الخطوة 6: التحقق

نقوم بالتحقق من الحل عن طريق إدخال قيمة xx في المعادلة الأصلية والتأكد من أن المساحة الإجمالية تكون 624 قدمًا مربعًا.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون حساب مساحة المستطيل:
    المساحة=الطول×العرض\text{المساحة} = \text{الطول} \times \text{العرض}

  2. قانون توسيع المربع:
    (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

  3. قانون الجذر التربيعي في الصيغة العامة:
    x=b±b24ac2ax = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}

التحقق:

بعد حساب قيمة xx، يمكننا إدخالها في المعادلة الأصلية والتحقق من أن الناتج يكون 624 قدمًا مربعًا.

بهذه الطريقة، يتم حل المسألة باستخدام المفاهيم الرياضية والقوانين المتعلقة بحساب المساحات وحل المعادلات من الدرجة الثانية.