حل مسألة: عدد الكعك المتناولة (مسألة رياضيات)

إذا قرر أندي وأليكسا خبز 24 كعكة وتناولت أليكسا عددًا موجبًا مضاعفًا لعدد الكعك التي يتناولها شقيقها، فما هو أقصى عدد من الكعك التي يمكن أن يكون قد تناولها أندي إذا أكملا جميع الكعك؟

لنفترض أن أليكسا تأكل $x$ كعكة وأندي يأكل $y$ كعكة. بما أنهما يخبزان 24 كعكة، فإننا نعرف معادلة:

$x + y = 24$

ووفقًا للشرط الآخر، أن أليكسا تأكل عددًا موجبًا مضاعفًا لعدد الكعك التي يأكلها أندي، يمكننا كتابتها على النحو التالي:

$x = ky$

حيث $k$ هو عامل مضاعف إيجابي.

الآن يجب حل هذا النظام من المعادلات للعثور على قيم $x$ و $y$.

نستخدم المعادلة الثانية لتعويض قيمة $x$ في المعادلة الأولى:

$ky + y = 24$

$y(k + 1) = 24$

$y = \frac{24}{k + 1}$

الآن نحتاج إلى معرفة قيم $k$ التي تجعل $y$ عددًا صحيحًا إذا كانت $y$ عددًا صحيحًا، بما أن عدد الكعك يجب أن يكون صحيحًا. يجب أن يكون المقام $k + 1$ عاملًا لـ 24 لضمان أن $y$ عدد صحيح.

الآن، نحتاج إلى معرفة أقصى قيمة ممكنة لـ $y$، وهي العدد الصحيح الأكبر الذي يمكن أن يأخذه $y$ لقيمة صحيحة لـ $k$ موافقة للشرط. نجرب القيم الممكنة لـ $k$ ونحسب القيم المقابلة لـ $y$، ثم نختار القيمة الأكبر لـ $y$ التي تعطينا عددًا صحيحًا:

1. عند $k = 1$: $y = \frac{24}{1 + 1} = 12$
2. عند $k = 2$: $y = \frac{24}{2 + 1} = 8$
3. عند $k = 3$: $y = \frac{24}{3 + 1} = 6$
4. عند $k = 4$: $y = \frac{24}{4 + 1} = 4.8$

لاحظ أن القيمة $k = 4$ لا تعطي عددًا صحيحًا لـ $y$، لذا نستبعدها.

إذاً، أقصى قيمة لـ $y$ تحدث عند $k = 1$ حيث $y = 12$، وبالتالي فإن أندي يمكن أن يأكل الحد الأقصى من الكعك والذي يساوي 12 كعكة.

في هذه المسألة، نعتمد على القوانين الأساسية للجبر والعلاقات الرياضية لحل المعادلات. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قانون الجمع والطرح: يتيح لنا هذا القانون جمع أو طرح الأعداد.
2. قانون الضرب والقسمة: يسمح لنا هذا القانون بضرب وقسمة الأعداد.
3. التعبيرات الجبرية: نستخدم التعبيرات الجبرية لتمثيل العلاقات بين الكميات المختلفة.
4. المعادلات الخطية: نستخدم المعادلات الخطية لوصف العلاقات بين الكميات التي يمكن تمثيلها بخط مستقيم.
5. الأعداد الصحيحة والمضاعفات: نستخدم الفهم العام للأعداد الصحيحة والمضاعفات لفهم العلاقة بين الكميات المذكورة في المسألة.

الحل يبدأ بتحديد المتغيرات وكتابة المعادلات المناسبة للعلاقات المعطاة في المسألة. ثم نستخدم الجبر لحل هذه المعادلات والعثور على القيم المجهولة.

نتيجة لذلك، فإن الخطوات الرئيسية لحل المسألة تشمل:

1. تعريف المتغيرات: نحدد المتغيرات التي سنستخدمها لحل المسألة. في هذه المسألة، نقوم بتعريف $x$ كعدد الكعك التي تأكلها أليكسا و $y$ كعدد الكعك التي تأكلها أندي.

2. كتابة المعادلات: نكتب المعادلات استنادًا إلى المعلومات المعطاة في المسألة. لدينا معادلة واحدة تعبر عن مجموع الكعكات: $x + y = 24$. ولدينا شرط إضافي يقول إن عدد الكعك التي تأكلها أليكسا هو مضاعف لعدد الكعك التي يأكلها أندي، وهو $x = ky$.

3. حل المعادلات: نستخدم الجبر لحل المعادلات. نبدأ بتبسيط المعادلات وتحويلها إلى صيغة تسهل عملية الحساب. في هذه المسألة، حل المعادلات يتضمن استخدام الإحالة (substitution) للعثور على القيم المناسبة للمتغيرات.

4. التحقق من الحل: نتأكد من أن الحل الذي نحصل عليه يتوافق مع شروط المسألة ويحقق العلاقات المعطاة.

5. استنتاج النتيجة: بعد حل المعادلات والتحقق من الحل، نستنتج الإجابة النهائية للمسألة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الجبرية المذكورة أعلاه، يمكننا حل المسألة والوصول إلى الإجابة المطلوبة بطريقة دقيقة ومنطقية.