حل مسألة: عدد الأرانب في الحقل (مسألة رياضيات)

عندما يركض كلب في حقل وينضم إليه مجموعة من 4 قطط، وينضم إلى كل قط س x أرانب وينضم إلى كل أرنب 3 أرانب، وإذا كان هناك 37 حيوانًا يركضون في الحقل، فما قيمة المتغير غير المعروف x؟

لنقم بتحليل الوضع:

• الكلب: 1 حيوان
• القطط: 4 حيوانات
• الأرانب: 4x حيوانات
• الأرانب الإضافية من قبل القطط: 4x × x = 4x^2 حيوانات
• الأرانب الإضافية من قبل الأرانب: 3(4x) = 12x حيوان

إجمالي عدد الحيوانات:
1 (الكلب) + 4 (القطط) + 4x (الأرانب الأصلية) + 4x^2 (الأرانب الإضافية) + 12x (الأرانب الإضافية) = 37

الآن يجب علينا حل المعادلة التالية للعثور على قيمة x:

1 + 4 + 4x + 4x^2 + 12x = 37

نقوم بتجميع المصطلحات المشابهة:
4x^2 + 16x + 5 = 37

نقوم بطرح 37 من الجانبين للحصول على معادلة من الدرجة الثانية:
4x^2 + 16x – 32 = 0

الآن نحتاج إلى حل المعادلة الثانوية باستخدام الطريقة المعتادة لحل المعادلات الثانوية. نستخدم هنا العلاقة التالية لحساب الجذر التربيعي:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث أن المعادلة العامة للمعادلة الثانوية بصورة عامة تكون في صورة $ax^2 + bx + c = 0$.

بالتعويض في قيم الأرقام لدينا:
$a = 4, \quad b = 16, \quad c = -32$

$x = \frac{{-16 \pm \sqrt{{16^2 – 4 \times 4 \times (-32)}}}}{{2 \times 4}}$

$x = \frac{{-16 \pm \sqrt{{256 + 512}}}}{{8}}$

$x = \frac{{-16 \pm \sqrt{{768}}}}{{8}}$

$x = \frac{{-16 \pm 27.7}}{{8}}$

تتجزأ الجذور إلى جذرين ممكنين:
$x_1 = \frac{{-16 + 27.7}}{{8}}$
$x_2 = \frac{{-16 – 27.7}}{{8}}$

$x_1 = \frac{{11.7}}{{8}} \approx 1.46$
$x_2 = \frac{{-43.7}}{{8}} \approx -5.46$

بما أن عدد الأرانب لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن القيمة المقبولة هي $x \approx 1.46$.

في هذه المسألة، نقوم بحلها باستخدام مجموعة من الخطوات الرياضية والمعادلات للعثور على قيمة المتغير المجهول. سنقوم بشرح الخطوات بالتفصيل مع ذكر القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. تحديد المتغيرات: نبدأ بتحديد المتغيرات في المسألة. في هذه الحالة، لدينا المتغير $x$ الذي يمثل عدد الأرانب التي تنضم إلى كل قط.

2. تركيب المعادلة: بناءً على المعلومات المعطاة في المسألة، نقوم بتركيب معادلة تعبيرية لعدد الحيوانات في الحقل. نعتمد على العلاقات التالية:

   • عدد القطط = 4
   • عدد الأرانب التي تنضم مع كل قط = $x$
   • عدد الأرانب التي تنضم مع كل قطة = $4x$
   • عدد الأرانب الكلي = عدد الأرانب الأصلي + عدد الأرانب المنضمة مع القطط = $4x + 4x^2$
   • عدد الأرانب الإضافية التي تنضم مع الأرانب = $3 \times 4x = 12x$
   • إجمالي عدد الحيوانات = 1 (الكلب) + 4 (القطط) + 4x (الأرانب الأصلية) + 4x^2 (الأرانب المنضمة مع القطط) + 12x (الأرانب المنضمة مع الأرانب) = $37$

3. حل المعادلة: نحل المعادلة التي تمثل إجمالي عدد الحيوانات في الحقل. بعد تجميع المصطلحات المماثلة، نحصل على معادلة من الدرجة الثانية.

4. استخدام العلاقة الرياضية: نستخدم العلاقة الرياضية المعروفة لحساب الجذور التربيعية للعثور على قيم المتغيرات.

5. تحليل الحلول: بعد حساب الجذور، نتأكد من الحلول المقبولة والتي تتوافق مع السياق الرياضي للمسألة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، نستطيع حل المسألة والعثور على قيمة المتغير المجهول $x$ التي تمثل عدد الأرانب التي تنضم مع كل قطة في الحقل.