حل مسألة: عامل معادلة من الدرجة الثالثة (مسألة رياضيات)

إذا كان $(x + 7)$ عاملاً للمعادلة $cx^3 + 19x^2 – 3cx + 35$، فإن ذلك يعني أن عند تعويض $x = -7$ في المعادلة، يجب أن يكون الناتج يساوي صفرًا.

لنقوم بذلك:

إذاً، قيمة الثابت $c$ تساوي 3.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون عامل الضرب في الجبر. يُعتبر عامل الضرب أحد القوانين الأساسية في الجبر ويقول: “إذا كانت $a$ و $b$ عوامل للعدد $c$، فإن $ab$ هو عامل لهذا العدد أيضًا”.

لنبدأ بتطبيق هذا القانون في المسألة:

المعادلة الأصلية: $cx^3 + 19x^2 – 3cx + 35$

نعطي العنصر المشترك بين العوامل الأولى للمعادلة بمقدار $x+7$:

$(x + 7)(ax^2 + bx + d)$

حيث $a$ و $b$ و $d$ هي معاملات نريد تحديدها.

الآن نقوم بضرب العبارة الأولى $(x+7)$ في $(ax^2 + bx + d)$ باستخدام الضرب الجبري:

$(x + 7)(ax^2 + bx + d) = ax^3 + bx^2 + dx + 7ax^2 + 7bx + 7d$

تأخذ هذه العبارة شكلًا مشابهًا للمعادلة الأصلية. للتوافق بين العبارتين، يجب أن يكون:

1. معامل $x^3$: $a = c$
2. معامل $x^2$: $b + 7a = 19$
3. معامل $x$: $d + 7b – 3a = 0$
4. المعامل المستقل: $7d = 35$

بناءً على آخر معادلة، يتضح أن $d = 5$.

ثم، نستخدم العلاقة الثالثة لحساب قيمة $d$:

$d + 7b – 3a = 0$

$5 + 7b – 3c = 0$

ثم نستخدم العلاقة الثانية لتحديد $b$:

$b + 7a = 19$

$b + 7c = 19$

أخيرًا، نستخدم القيم المحسوبة لحساب $c$ من العلاقة الأولى:

$c = 3$

هذا هو الحل النهائي بناءً على القوانين الجبرية المستخدمة.