حل مسألة: طول نصف قطر دائرة (مسألة رياضيات)

ضرب اثنين من البوصات في محيط دائرة، بالبوصات، يساوي مساحة الدائرة. ما هو طول نصف قطر الدائرة، بالبوصات؟

لنقم بحل المسألة:

لنفترض أن طول نصف قطر الدائرة يُمثل بـ $r$ بوصة.

إذاً، محيط الدائرة يساوي $2 \times \pi \times r$ بوصة.

ومن المعطى في المسألة، نعلم أن حاصل ضرب 2 بوصة في محيط الدائرة يساوي مساحة الدائرة.

لكن مساحة الدائرة تُعطى بالصيغة التالية: $\pi \times r^2$ بوصة مربعة.

إذاً، يتحقق المعادلة التالية:

$2 \times 2 \times \pi \times r = \pi \times r^2$

نقوم بتبسيطها وحساب القيم:

$4 \pi r = \pi r^2$

نقسم الطرفين على $\pi$ لنتخلص منها:

$4r = r^2$

الآن، لدينا معادلة رباعية. لحلها، نقوم بتجزئة الحدود إلى الصفر للحصول على الحلول الممكنة. وتكون المعادلة:

$r^2 – 4r = 0$

نقوم بعملية الجذر التربيعي لكلا الطرفين:

$r(r – 4) = 0$

من هنا، يتبين لنا أن إحدى الحلول هي $r = 0$ والحل الآخر $r = 4$ بوصة.

ولكن، نصف قطر الدائرة لا يمكن أن يكون صفراً، لذا يكون الحل النهائي $r = 4$ بوصة.

إذاً، طول نصف قطر الدائرة هو 4 بوصة.

في هذه المسألة الرياضية، نتعامل مع مفهوم الدوائر والمساحات والمحيطات. لحل هذه المسألة، سنعتمد على القوانين الأساسية لحساب محيط الدائرة ومساحتها.

القانون الأول:
محيط الدائرة = $2\pi r$ حيث أن $r$ هو طول نصف قطر الدائرة و $\pi$ هو ثابت يُمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها.

القانون الثاني:
مساحة الدائرة = $\pi r^2$ حيث أن $r$ هو طول نصف قطر الدائرة و $\pi$ هو الثابت نفسه.

الآن، في المسألة الحالية، نعطى أن حاصل ضرب عدد (2 بوصة) في محيط الدائرة يساوي مساحة الدائرة.

لنبدأ بتحليل القانون الذي توفره المسألة:

$2 \times 2 \times \pi \times r = \pi \times r^2$

الذي يعبر عن حاصل ضرب 2 بوصة في محيط الدائرة ويساوي مساحة الدائرة.

بعد ذلك، نقوم بتبسيط المعادلة وحساب القيم للعثور على قيمة $r$.

المرحلة الأولى:
نقوم بقسمة الطرفين على $\pi$ لتبسيط المعادلة والتخلص من الثابت:
$4r = r^2$

المرحلة الثانية:
نقوم بتجزئة الحدود إلى الصفر للعثور على الحلول الممكنة:
$r^2 – 4r = 0$

المرحلة الثالثة:
نقوم بحساب القيم للعثور على الحلول:
$r(r – 4) = 0$

أخيرًا، نجد أن لدينا حلين ممكنين: $r = 0$ و $r = 4$ بوصة.

ومن المعقول أن نصف قطر الدائرة لا يمكن أن يكون صفرًا، لذا يكون الحل النهائي $r = 4$ بوصة.

باختصار، القوانين المستخدمة هنا هي قوانين محيط الدائرة ومساحتها، وتطبيقها يسمح لنا بحل المسألة بنجاح.