حل مسألة: طول قطارين متحركين (مسألة رياضيات)

قطاران متساويان يجريان على خطوط متوازية في نفس الاتجاه بسرعة 45 كم/س و36 كم/س على التوالي. القطار الأسرع يتجاوز القطار الأبطأ في 36 ثانية. ما هو طول كل قطار؟

حل المسألة:
لنحسب السرعة النسبية بين القطارين:
سرعة القطار الأسرع – سرعة القطار الأبطأ = 45 كم/س – 36 كم/س = 9 كم/س

السرعة النسبية بين القطارين هي 9 كم/س.

نعرف أن القطار الأسرع يتجاوز القطار الأبطأ في 36 ثانية، لنحسب المسافة التي يقطعها القطار الأسرع أثناء التجاوز:

المسافة = السرعة × الزمن
المسافة = 9 كم/س × 36 ثانية

لكن يجب أن نحول الزمن إلى ساعات ليكون لدينا وحدات متسقة:
36 ثانية ÷ 3600 ثانية/ساعة = 0.01 ساعة

المسافة = 9 كم/س × 0.01 ساعة = 0.09 كم

لكن هذه المسافة تمثل جزءًا من المسافة الإجمالية للتجاوز. إذاً، لنجد طول كل قطار، نضرب المسافة التي قطعها القطار الأسرع في نصفها، لأنه تجاوز القطار الأبطأ:

طول القطار = 0.09 كم ÷ 2 = 0.045 كم

لكن نحتاج أن نحول الطول إلى وحدات أطول، لنقوم بتحويل الكيلومتر إلى أمتار:

0.045 كم × 1000 م/كم = 45 متر

إذاً، طول كل قطار هو 45 متر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون الحركة المستمرة. قانون الحركة المستمرة يتيح لنا حساب المسافة أو الزمن أو السرعة عندما يتحرك الأجسام بسرعات متغيرة. في هذه الحالة، سنستخدم القانون التالي:

$\text{المسافة} = \text{السرعة النسبية} \times \text{الزمن}$

حيث:

• المسافة هي المسافة التي يتحركها القطار الأسرع أثناء التجاوز.
• السرعة النسبية هي الفارق بين سرعة القطار الأسرع وسرعة القطار الأبطأ.
• الزمن هو الوقت الذي يستغرقه القطار الأسرع لتجاوز القطار الأبطأ.

قانون الحركة المستمرة يساعدنا على فهم كيف يتحرك القطار الأسرع بالنسبة إلى القطار الأبطأ وكم المسافة التي يقطعها أثناء التجاوز.

الآن، سنقوم بتحليل الحل:

1. حساب السرعة النسبية:
   $\text{السرعة النسبية} = \text{سرعة القطار الأسرع} – \text{سرعة القطار الأبطأ} = 45 \, \text{كم/س} – 36 \, \text{كم/س} = 9 \, \text{كم/س}$

2. تحويل الزمن إلى ساعات:
   $\text{الزمن} = 36 \, \text{ثانية} \div 3600 \, \text{ثانية/ساعة} = 0.01 \, \text{ساعة}$

3. حساب المسافة:
   $\text{المسافة} = 9 \, \text{كم/س} \times 0.01 \, \text{ساعة} = 0.09 \, \text{كم}$

4. تحويل الكيلومتر إلى أمتار:
   $0.09 \, \text{كم} \times 1000 \, \text{م/كم} = 90 \, \text{متر}$

5. حساب طول القطار:
   $\text{طول القطار} = \frac{المسافة}{2} = \frac{90 \, \text{متر}}{2} = 45 \, \text{متر}$

بهذا، نصل إلى أن طول كل قطار هو 45 متر.