حل مسألة: طول الضلع في مثلث مع الشروط المعطاة (مسألة رياضيات)

في المثلث ABC، إذا كان $\cos(2A – B) + \sin(A + B) = 2$ وكان AB = 4، فما هو طول BC؟

لنبدأ حل المسألة:

لدينا المعادلة: $\cos(2A – B) + \sin(A + B) = 2$

ونعلم أن $AB = 4$.

نحتاج إلى استخدام الهوية المثلثية لتعبير السين والكوساين بالنسبة للزوايا. لذلك، لنقم بذلك:

$\cos(2A – B) = \cos(2A)\cos(B) + \sin(2A)\sin(B)$

$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$

الآن، سنقوم بتبديل الزوايا والأضلاع بالتعبير A، B، C و a، b، c، وذلك لتوافق الشروط الموجودة في المعادلة.

لكن يجب أن نتذكر أن المعادلات التالية صحيحة في المثلث:

1. قانون الجيب: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)$
2. قانون الجيبين: $\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}$

نقوم بتبديل AB إلى c، وBC إلى a، وAC إلى b. ونحتاج لتحويل الزوايا أيضًا.

لكن هل يمكننا حساب الزوايا؟ بالتأكيد، لأننا نعرف أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.

لنحسب قيمة الزاوية B أولاً. وذلك باستخدام معلومة أن $\cos(2A – B) = \frac{AB}{BC}$.

نتذكر أن $AB = 4$. لذا، نحصل على المعادلة التالية:

$\cos(2A – B) = \frac{4}{BC}$

من المعادلة الأولى: $\cos(2A – B) = \cos(2A)\cos(B) + \sin(2A)\sin(B)$

والآن نستطيع مقارنة الأجزاء المتشابهة، حيث أن $\cos(2A – B) = \frac{4}{BC}$ و $\sin(A + B) = \frac{BC}{4}$.

وبما أننا لدينا زوايا وأضلاع يمكننا العمل بمعادلات الجيب والجيبين لحل المسألة.

نقوم بحل المعادلات وحساب قيم الأضلاع بناءً على القوانين المذكورة.

وبعد ذلك، نقوم بحساب قيمة BC.

لحل المسألة، سنبدأ بتحليل الشروط المعطاة ونستخدم القوانين الأساسية في الهندسة الهندسية لحساب الأطوال والزوايا في المثلث.

الشروط المعطاة:

1. المعادلة: $\cos(2A – B) + \sin(A + B) = 2$
2. الطول AB = 4

نريد حساب الطول BC.

الخطوات:

1. حساب الزوايا:
   أولاً، نقوم بحساب قيم الزوايا باستخدام المعادلة المعطاة. يمكننا استخدام المعادلات المثلثية لتحويل العبارات الجبرية إلى تعابير زاوية.

2. استخدام قانون الجيب:
   بمجرد حساب الزوايا، نستخدم قانون الجيب لحساب الأطوال في المثلث. قانون الجيب يتيح لنا حساب طول جانب معروف إذا كانت قيم الزوايا والأطوال الأخرى معروفة.

3. حساب الطول BC:
   بعد حساب الأطوال الأخرى في المثلث باستخدام قانون الجيب، نستخدم القيم المحسوبة لحساب الطول BC.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجيب (قانون الجيبين):
   يربط بين زوايا المثلث وأطوال جوانبه. يمكن استخدامه لحساب الأطوال إذا كانت الزوايا معروفة والعكس صحيح.

2. المعادلات المثلثية:
   نستخدم هذه المعادلات لتحويل العلاقات الجبرية إلى تعابير زوايا وأطوال في المثلث.

من خلال تحليل المسألة واستخدام القوانين المذكورة، يمكننا حساب قيمة BC بمعرفة الزوايا والأطوال الأخرى في المثلث. يتطلب الحل دقة في العمليات الحسابية واستخدام العلاقات الصحيحة لضمان الحصول على الإجابة الصحيحة.