نريد حساب قيمة الدالة التمامية للزاوية 75 درجة وهي التمامية للزاوية 15 درجة. نعرف أن الزاوية 75 درجة تكون متكونة من جمع زاويتين، وهما 45 درجة و 30 درجة. لحساب الزاوية 15 درجة، نقوم بطرح 90 درجة من 75 درجة.
لحل المسألة، نستخدم تقسيم الزوايا ونعرف أن:
tan ( 7 5 ∘ ) = tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) tan ( 7 5 ∘ ) = tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) باستخدام الزوايا المرجعية، يمكننا حساب قيمة التمامية للزاوية 75 درجة بالتفصيل على النحو التالي:
tan ( 7 5 ∘ ) = tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) \tan(75^\circ) = \frac{{\tan(45^\circ + 30^\circ)}}{{1 – \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}} tan ( 7 5 ∘ ) = 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) ثم نعرف أن قيم التمامي للزاويتين 45 و 30 درجة هما 1 و جذر 3 على 3 بالترتيب. وبالتالي:
tan ( 7 5 ∘ ) = tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) = tan ( 4 5 ∘ ) + tan ( 3 0 ∘ ) 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) \tan(75^\circ) = \frac{{\tan(45^\circ + 30^\circ)}}{{1 – \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}} = \frac{{\frac{{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}}{{1 – \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}}}}{{1 – \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}} tan ( 7 5 ∘ ) = 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 1 − tan ( 4 5 ∘ ) tan ( 3 0 ∘ ) 1 − t a n ( 4 5 ∘ ) t a n ( 3 0 ∘ ) t a n ( 4 5 ∘ ) + t a n ( 3 0 ∘ ) نعوض قيم التمامية للزاويتين المعروفة:
tan ( 4 5 ∘ ) = 1 و tan ( 3 0 ∘ ) = 3 3 \tan(45^\circ) = 1 \quad \text{و} \quad \tan(30^\circ) = \frac{{\sqrt{3}}}{3} tan ( 4 5 ∘ ) = 1 و tan ( 3 0 ∘ ) = 3 3 وبعد الحساب:
tan ( 7 5 ∘ ) = 1 + 3 3 1 − 1 × 3 3 \tan(75^\circ) = \frac{{1 + \frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1 – 1 \times \frac{{\sqrt{3}}}{3}}} tan ( 7 5 ∘ ) = 1 − 1 × 3 3 1 + 3 3 tan ( 7 5 ∘ ) = 1 + 3 3 1 − 3 3 \tan(75^\circ) = \frac{{1 + \frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1 – \frac{{\sqrt{3}}}{3}}} tan ( 7 5 ∘ ) = 1 − 3 3 1 + 3 3 tan ( 7 5 ∘ ) = 3 + 3 3 − 3 \tan(75^\circ) = \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{3 – \sqrt{3}}} tan ( 7 5 ∘ ) = 3 − 3 3 + 3 وتكون النتيجة هكذا.
لحساب قيمة $\tan 75^\circ$، نستخدم عدة خطوات وقوانين من الهندسة الفراغية والجبرية. إليك الخطوات بالتفصيل:
تقسيم الزاوية 75 درجة : نريد حساب قيمة التمامية للزاوية 75 درجة، وهي التمامية للزاوية 15 درجة.
استخدام الزوايا المرجعية : نعرف أن الزاوية 75 درجة هي مجموع الزاويتين 45 درجة و 30 درجة.
استخدام الزوايا المعروفة : نحتاج إلى قيم التمامية للزوايا 45 درجة و 30 درجة.
استخدام القوانين الجبرية :
قانون جمع الأسين: $\tan(A + B) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 – \tan A \cdot \tan B}}$
قيم التمامية: $\tan 45^\circ = 1$ و$\tan 30^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{3}$
الآن دعنا نقوم بالحسابات:
أولاً، نحسب $\tan(45^\circ + 30^\circ)$ باستخدام قانون جمع الأسين:
tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = tan 4 5 ∘ + tan 3 0 ∘ 1 − tan 4 5 ∘ ⋅ tan 3 0 ∘ \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}}{{1 – \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}} tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 1 − tan 4 5 ∘ ⋅ tan 3 0 ∘ tan 4 5 ∘ + tan 3 0 ∘ نستخدم قيم التمامية المعروفة:
tan 4 5 ∘ = 1 و tan 3 0 ∘ = 3 3 \tan 45^\circ = 1 \quad \text{و} \quad \tan 30^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{3} tan 4 5 ∘ = 1 و tan 3 0 ∘ = 3 3 بعد الاستبدال، نحصل على:
tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 1 + 3 3 1 − 1 × 3 3 \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{{1 + \frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1 – 1 \times \frac{{\sqrt{3}}}{3}}} tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 1 − 1 × 3 3 1 + 3 3 نقوم بالحسابات الجبرية:
tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 1 + 3 3 1 − 3 3 \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{{1 + \frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1 – \frac{{\sqrt{3}}}{3}}} tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 1 − 3 3 1 + 3 3 وبعد الجمع والطرح، نحصل على:
tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 3 + 3 3 − 3 \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{{3 + \sqrt{3}}}{{3 – \sqrt{3}}} tan ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 3 − 3 3 + 3 وهذه هي القيمة التقريبية لـ $\tan(75^\circ)$ باستخدام القوانين الهندسية والجبرية المذكورة.
