حل مسألة: ضرب نقطي وصليبي في الفيزياء الرياضية (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $\mathbf{a}, \mathbf{b},$ و$\mathbf{c}$ هي نواة ناقلة موحدة للاتجاهات (Unit Vectors) بحيث يكون $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = X$ وزاوية بين $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$ هي $\frac{\pi}{4}$.

نعلم أن ضرب النقطة بين $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$ هو:

$\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\| \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}$

نحن أيضًا نعلم أن ضرب النقطة بين $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ هو $X$. ونظرًا لأن النواة ناقلة الاتجاه (Unit Vectors)، فإن ضرب النقطة يعطينا قيمة الزاوية بين الناقلتين:

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} = X$

بالنظر إلى السؤال، لدينا $\mathbf{a} = k (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$. يتم تعريف عملية الضرب الصليبي بأنها توليد ناقلة جديدة تكون عمودية على كل من $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$. إذاً، يكون الناتج $\mathbf{a}$ عموديا على كل من $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$.

نستخدم قاعدة الضرب الصليبي لحساب قيمة $\mathbf{a}$:

$\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\| = \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\| \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}$

لكنه سوف يكون طول $\mathbf{a}$ هو $|k|$ مرات طول $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$، لذلك:

$\|\mathbf{a}\| = |k| \|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\|$

ومن المعطيات يتبين أن $|\mathbf{a}| = 1$، لذلك:

$1 = |k| \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{2}$

$|k| = 2$

إذاً، القيمة الممكنة للمتغير $k$ هي $2$.

لحساب قيمة $X$، نستخدم المعلومات المعطاة في السؤال. نعلم أن:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = X$

ولكن $\mathbf{a}$ موازي لناقلة $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$، لذلك الضرب الداخلي بين $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ يكون صفر:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$

لذلك:

$X = 0$

إذاً، القيمة المجهولة $X$ هي $0$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى الاعتماد على مفهوم الضرب النقطي والضرب الصليبي للنواقل (الفيكتورات)، بالإضافة إلى المعرفة بقوانين هندسية بسيطة تتعلق بزوايا وأطوال النواقل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون ضرب النقطة:
   إذا كانت $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ نواقل (فيكتورات)، فإن ضرب النقطة بينهما يُعطي مضاعفًا لمحاصيل أطوالهما مع جيب الزاوية بينهما.
   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos{\theta}$

2. قانون ضرب الصليب:
   إذا كانت $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ نواقل (فيكتورات)، فإن ضرب الصليب بينهما يُنتج عنه ناقل (فيكتور) جديد يكون عموديًا على النواقل الأصلية، ويكون طوله يساوي مساحة المتوازي الذي تشكله النواقل الأصلية.
   $\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin{\theta}$

3. قوانين هندسية:

   • قانون الكوساين: يربط بين طولين من النواقل وزاوية بينهما.
   • قوانين الجيومتريا الأساسية التي تتعلق بالمثلثات والأشكال الهندسية البسيطة.

الآن، نستخدم هذه القوانين لحل المسألة:

1. بما أن النواقل $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$ هي نواقل موحدة، فإن ضرب النقطة بين $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$ هو $\frac{1}{2}$.
2. الزاوية بين $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$ معطاة كـ$\frac{\pi}{4}$.
3. من ضرب النقطة بين $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ وبالاستفادة من حقيقة أن $\mathbf{a}$ موازي لضرب الصليب بين $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$، نحصل على $X = 0$.
4. من الضرب الصليبي بين $\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$، نحصل على طول $\mathbf{a}$ كـ$\frac{1}{2}$.
5. الآخير، نستخدم معرفة أن طول $\mathbf{a}$ يجب أن يكون $|k|$ مرات طول $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$، مما يعني أن $|k| = 2$.

بالتالي، القيم الممكنة لـ$k$ هي $2$ والقيمة المجهولة $X$ هي $0$.