دع $\mathbf{u}$، $\mathbf{v}$، و $\mathbf{w}$ تكون متجهات بحيث $|\mathbf{u}| = 3$، $|\mathbf{v}| = 4$، و $|\mathbf{w}| = 5$، ويتوافق معادلة $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$. يطلب منا حساب التالي: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$.
لحل هذه المسألة، سنستخدم خواص الضرب النقطي للمتجهات. الضرب النقطي بين اثنين من المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ يُعرف كما يلي:
حيث أن $\theta$ هو الزاوية بين المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.
بما أن $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$، فإننا نعلم أنه يمكن كتابة كل متجه كمجهول معلومة بالنسبة للآخرين. بمعنى آخر، إذا افترضنا أن $\mathbf{u}$ ثابت، يمكننا حساب $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ على أنهما $-\mathbf{u} – \mathbf{v}$.
الآن دعنا نقوم بحساب الضرب النقطي الذي يُطلب منا:
&= \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta_{uv} + \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta_{uw} + \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta_{vw}
\end{aligned}\] حيث أن $\theta_{uv}$ هو الزاوية بين $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$، و$\theta_{uw}$ هو الزاوية بين $\mathbf{u}$ و $\mathbf{w}$، و $\theta_{vw}$ هو الزاوية بين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$.
نظرًا لأن $\mathbf{u}$، $\mathbf{v}$، و $\mathbf{w}$ يشكلون مثلثًا متساوي الأضلاع (نظريًا)، فإن $\theta_{uv} = \theta_{uw} = \theta_{vw} = 120$ درجة (في حالة الثلاثية المتساوية الأضلاع). لكن نلاحظ أن $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
باستخدام هذه المعلومات، نستطيع الآن حساب الناتج:
\[\begin{aligned}
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &+ \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} \\
&= 3 \times 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 \times 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 4 \times 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\
&= -6 – \frac{15}{2} – 10 \\
&= -6 – \frac{15}{2} – 10 \\
&= -6 – 7.5 – 10 \\
&= -23.5
\end{aligned}\] إذاً، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = -23.5$.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة بشكل مفصل، دعنا نستخدم القوانين والمفاهيم التالية:
-
ضرب النقطة (Dot Product):
الضرب النقطي بين اثنين من المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ يتم عن طريق ضرب طول كل متجهة في بعضها ثم في قيمة الكوسين للزاوية بينهما.
-
متجه صفري (Zero Vector):
عندما يكون مجموع المتجهات المعطاة يساوي المتجه الصفري ($\mathbf{0}$)، فإنه يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب العلاقات بين المتجهات. -
خواص الزوايا:
في هذه المسألة، نستخدم أيضًا مفهوم الزوايا بين المتجهات، وفي حالة المثلث المتساوي الأضلاع، فإن الزوايا الداخلية تكون كلها متساوية وتساوي $120$ درجة.
باستخدام هذه القوانين، نعود إلى المسألة:
نعلم أن:
نريد حساب:
بما أننا نستخدم المعادلة $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$، يمكننا حل المسألة عن طريق فرض متجه واحد (فلنقل $\mathbf{u}$) ثابتًا، ومن ثم حساب المتجهات الأخرى ($\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$) باستخدام هذا الافتراض. في هذه الحالة، نفترض أن $\mathbf{u}$ هو المتجه الثابت.
بعد ذلك، نستخدم خواص الضرب النقطي والزوايا بين المتجهات لحساب الناتج المطلوب:
&= \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta_{uv} + \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta_{uw} + \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta_{vw}
\end{aligned}\] حيث أن $\theta_{uv}$، $\theta_{uw}$، و $\theta_{vw}$ هي الزوايا بين المتجهات المختلفة.
وباستخدام المعادلات والقيم المعطاة في المسألة، نحسب قيمة الناتج لتكون $-23.5$.
هذا هو الحل المفصل للمسألة مستندًا إلى القوانين الفيزيائية والرياضية المعمول بها في الرياضيات الخطية والتفاضلية.