مسائل رياضيات

حل مسألة: ضرب نقطي للمتجهات في الجبر الخطي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 31/01/2024
0

إذا كانت $\mathbf{a},$ $\mathbf{b},$ و $\mathbf{c}$ هي متجهات بحيث $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3,$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 4,$ و $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 6,$ ثم نريد أن نجد
b⋅(7c−2a).\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a}).

لنقوم أولاً بتوسيع التعبير داخل النقطة المنتشرة:

مواضيع ذات صلة

b⋅(7c−2a)=b⋅7c−b⋅2a.\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a}) = \mathbf{b} \cdot 7 \mathbf{c} – \mathbf{b} \cdot 2 \mathbf{a}.

نستخدم خاصية التوزيع للضرب النقطي:

b⋅(7c−2a)=7(b⋅c)−2(b⋅a).\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a}) = 7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – 2 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}).

الآن، نستخدم القيم المعطاة:

\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a}) &= 7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – 2 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) \\
&= 7(6) – 2(-3) \\
&= 42 + 6 \\
&= 48.
\end{aligned}\] لذا، قيمة المتجه $\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a})$ هي 48.

المزيد من المعلومات

في هذه المسألة، نستخدم العديد من قوانين الجبر الخطي والعمليات الأساسية على النقاط والمتجهات. دعوني أوضح الخطوات بالتفصيل:

  1. الخاصية الأساسية لضرب النقاط (المتجهات):
    لدينا القاعدة الأساسية لضرب النقاط: a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta, حيث θ\theta هو زاوية بين النقطتين أو المتجهين a\mathbf{a} و b\mathbf{b}.

  2. التوزيع على الضرب النقطي:
    نستخدم خاصية التوزيع للضرب النقطي عندما نمتزج بين النقاط والمتجهات مع العمليات الحسابية الأخرى.

  3. الاستخدام الفعّال للقيم المعطاة:
    نستخدم القيم المعطاة للنقاط أو المتجهات لحل المعادلات أو تحديد النتائج المطلوبة.

الآن، دعوني أشرح الحل بالتفصيل:

أولاً، نستخدم القيم المعطاة:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= -3, \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} &= 4, \\
\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} &= 6.
\end{align*}\] ثم نستخدم الخاصية الأساسية لضرب النقاط لحساب قيمة التعبير المعطى:
\[\begin{aligned}
\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a}) &= \mathbf{b} \cdot 7 \mathbf{c} – \mathbf{b} \cdot 2 \mathbf{a} \\
&= 7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – 2 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}).
\end{aligned}\] نستخدم القيم المعطاة:
\[\begin{aligned}
\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a}) &= 7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – 2 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) \\
&= 7(6) – 2(-3) \\
&= 42 + 6 \\
&= 48.
\end{aligned}\] وهكذا، وجدنا أن قيمة التعبير \(\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – 2 \mathbf{a})\) تساوي 48.
في هذا الحل، استخدمنا القوانين الأساسية للجبر الخطي وخصائص ضرب النقاط والتوزيع لحساب النتيجة المطلوبة.

اخر تحديث 31/01/2024
0