حل مسألة: ضرب نقطي لثلاثة أوتار (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $\mathbf{u}$ و$\mathbf{v}$ هما نواتين (وحدات)، ولنفترض أن $\mathbf{w}$ هو ناقل بحيث $\mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{w}$ و $\mathbf{w} \times \mathbf{u} = \mathbf{v}.$ نريد حساب $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}).$

سنقوم أولاً بحساب $\mathbf{v} \times \mathbf{w}:$
$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{v} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u})$

وباستخدام خاصية توزيع الضرب النقطي على الجمع:
$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{v} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + \mathbf{v} \times \mathbf{u}$

ونستخدم خاصية خطيّة الضرب النقطي:
$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})\mathbf{u} – (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{v} – (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})\mathbf{u}$

ومن المعادلة أعلاه، نحصل على:
$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = 0$

الآن نعود لحساب $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$:
$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{0} = 0$

إذاً، قيمة المعادلة هي صفر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم الخصائص والقوانين الأساسية للضرب النقطي والضرب القطري وحساب الجزئيات من العمليات الرياضية. هنا هي الخطوات بتفصيل أكثر:

نعطي:
$\mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{w}$
و
$\mathbf{w} \times \mathbf{u} = \mathbf{v}$

الهدف: حساب $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$.

1. حساب $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$:

   نستخدم خاصية الانتشار (Distributive Property) للضرب النقطي على الجمع:
   $\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{v} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u})$

   ثم نستخدم الخاصية نفسها مرة أخرى لفصل العناصر:
   $\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{v} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + \mathbf{v} \times \mathbf{u}$

   الآن، بما أن $\mathbf{v} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$ هو الناتج صفر (بسبب التوازن) والناتج الثاني $\mathbf{v} \times \mathbf{u}$ هو صفر أيضاً، فنجد أن:
   $\mathbf{v} \times \mathbf{w} = 0$

2. حساب $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$:

   بما أن $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ هو صفر، فإن الناتج هو صفر أيضاً:
   $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{0} = 0$

   هذا يحقق الهدف المطلوب.

القوانين المستخدمة:

• خاصية الانتشار (Distributive Property) للضرب النقطي.
• خاصية توازن العناصر في الضرب القطري.
• خاصية خطيّة الضرب النقطي.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المفصّلة، نجد أن قيمة المعادلة هي صفر.