حل مسألة: ضرب داخلي وخارجي للمتجهات (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ هما متجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد. وتكون قيم طولها كالتالي:

وطول الناتج من الضرب الخارجي بينهما هو:

نريد إيجاد قيمة المعادلة:

لنحاول حل المعادلة. مع الاستفادة من خواص الضرب الخارجي، نعلم أن مساحة المتوازي المكونة من $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ يساوي قيمة الضرب الخارجي بينهما:

حيث $\theta$ هو الزاوية بين $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$.

ومن الصيغة المعروفة لحساب الضرب الخارجي بين متجهين في الفضاء الثلاثي، نجد أن:

نعلم أن $\sin(\theta)$ يجب أن يكون إيجابياً لأن قيمة الطول لا يمكن أن تكون سالبة، لذا نستخدم قيمة المطلق:

الآن، نحتاج فقط إلى حساب القيمة الممكنة لـ $X$ من المعادلة أعلاه.

ومن ثم، لحساب قيمة $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|$، يمكن استخدام العلاقة بين الضرب الداخلي والضرب الخارجي كما يلي:

حيث $\theta$ هي الزاوية بين $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$.

لكن الآن، بمجرد أن نعرف القيمة المناسبة لـ $X$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|$ والإجابة النهائية.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية المتعلقة بالمتجهات والضرب الداخلي والخارجي والتوافق الهندسي. إليك الخطوات التفصيلية:

1. الضرب الخارجي ومساحة المتوازي الرباعي:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب مساحة المتوازي الرباعي الذي يتكون من اثنين من المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$:

   $$\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin(\theta)$$

   حيث $\theta$ هو الزاوية بين المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.

2. العلاقة بين طول المتجهات والضرب الخارجي:
   نعلم أن قيمة الضرب الخارجي بين المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هو ناتج الضرب في طولي المتجهين مضروبًا في جيب الزاوية بينهما:

   $$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(\theta)$$

3. الحسابات والتفاعل مع الزاوية:
   يتم استخدام القيم المعطاة لحل المعادلة والتي ترتبط بالضرب الخارجي للمتجهات، بالإضافة إلى معرفة أن $\sin(\theta)$ يجب أن يكون إيجابيًا لأننا نتحدث عن الطول. بالتالي، نستخدم القيم المطلقة للحسابات.

4. حل المعادلة والعثور على قيمة $X$:
   باستخدام المعادلة $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 8$ و $|\mathbf{a}| = X$ و $|\mathbf{b}| = 5$، نستطيع حساب القيمة الممكنة لـ $X$.

5. حساب قيمة $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|$:
   بعد أن نعرف قيمة $X$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|$ باستخدام العلاقة السابقة للضرب الداخلي.

باستخدام هذه الخطوات والمفاهيم، يمكننا حل المسألة بدقة والعثور على القيم المطلوبة بناءً على البيانات المعطاة في السؤال.