مسائل رياضيات

حل مسألة: ضرب المصفوفات وإيجاد العكسية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 15/02/2024
0

المعادلة الأولى:

(3−8a11)\begin{pmatrix} 3 & -8 \\ a & 11 \end{pmatrix}

المعادلة الثانية:

مواضيع ذات صلة
(11b43)\begin{pmatrix} 11 & b \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

تكون المعادلتان عكسيتان إذا كانت حاصل ضربهما يساوي المصفوفة الهوية:

(3−8a11)(11b43)=(1001)\begin{pmatrix} 3 & -8 \\ a & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 & b \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

لنقوم بضرب المصفوفتين:

((3×11)+(−8×4)(3×b)+(−8×3)(a×11)+(11×4)(a×b)+(11×3))=(1001)\begin{pmatrix} (3 \times 11) + (-8 \times 4) & (3 \times b) + (-8 \times 3) \\ (a \times 11) + (11 \times 4) & (a \times b) + (11 \times 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

نقوم بحساب الضرب:

33−32=111a+44=033a+33=0a=−4b−24=0b=24\begin{aligned} 33 – 32 & = 1 \\ 11a + 44 & = 0 \\ 33a + 33 & = 0 \\ a & = -4 \\ b – 24 & = 0 \\ b & = 24 \end{aligned}

لذلك، القيمة المطلوبة هي $(a, b) = (-4, 24)$.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وإيجاد القيم للمتغيرات aa و bb، نحتاج إلى استخدام خصائص ضرب المصفوفات والمصفوفة الهوية.

القوانين المستخدمة:

  1. ضرب المصفوفات: للضرب بين مصفوفتين AA و BB حيث AA بأبعاد m×nm \times n و BB بأبعاد n×pn \times p، يكون الناتج مصفوفة بأبعاد m×pm \times p. يتم حساب كل عنصر في المصفوفة الناتجة عن ضرب الصفوف في AA بالأعمدة في BB وجمع الناتج.

  2. المصفوفة الهوية (Identity Matrix): هي مصفوفة مربعة تحتوي على القيم 1 على القطر الرئيسي والقيم 0 في باقي الأماكن.

بدأنا بضرب المصفوفتين المعطاة ووضعنا الناتج مساوياً للمصفوفة الهوية. ثم قمنا بمقارنة العناصر المتناظرة في الناتج مع العناصر المتناظرة في المصفوفة الهوية.

للمصفوفة الأولى:

(3−8a11)\begin{pmatrix} 3 & -8 \\ a & 11 \end{pmatrix}

والمصفوفة الثانية:

(11b43)\begin{pmatrix} 11 & b \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

قمنا بضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية وجمع النتائج للحصول على العناصر الناتجة في المصفوفة الناتجة.

بعد ذلك، قمنا بمطابقة العناصر في المصفوفة الناتجة مع القيم المتوقعة في المصفوفة الهوية. ومن خلال مقارنة العناصر المتناظرة، استنتجنا القيم المطلوبة للمتغيرات aa و bb، وهي على التوالي -4 و 24.

اخر تحديث 15/02/2024
0