حل مسألة: شروط الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

من المعطيات المعطاة في المسألة، لدينا:

ونعلم أيضًا أن $\beta = 3 + 2i$.

لنبدأ بحساب $i(\alpha – 2\beta)$:

حيث نريد أن يكون هذا العبارة حقيقيًا موجبًا. يعني هذا أن جزء الخيالي في $i\alpha – 6i – 4$ يجب أن يكون صفرًا وجزء الحقيقي يجب أن يكون موجبًا. بما أن الجزء الخيالي يجب أن يكون صفرًا، فإننا نعرف أن $i\alpha – 6i – 4 = 0$، أي $i\alpha = 6i + 4$.

من هذا، نستنتج أن الجزء الحقيقي لهذه المعادلة هو $6$ وهو عدد موجب.

الآن، نحل المعادلة الأولى $\alpha + \beta > 0$:

من الشرط الأول، نعلم أن الناتج يجب أن يكون حقيقيًا موجبًا.

لذلك،

نقوم بفصل الأجزاء الحقيقية والخيالية:

الجزء الحقيقي: $\alpha + 3 > 0$ يعطي $\alpha > -3$.

الجزء الخيالي: $2i$ ليس له تأثير على الجزء الحقيقي.

لذا، الشرط الأول يعطينا مجالًا غير محدد للقيم الممكنة لـ $\alpha$ ولا يساعدنا في تحديد قيمته بشكل محدد.

ومن الشرط الثاني الذي حللناه، نعلم أن الجزء الحقيقي لـ $i\alpha – 6i – 4$ هو موجب، أي $6$.

إذا، نستنتج أن $i\alpha = 6i + 4$.

بما أن الجزء الخيالي هو $6i$ ويعطينا العدد الخيالي $6i$ وهو موجب، فإن $\alpha$ يجب أن يكون موجبًا أيضًا لتحقيق الشرط.

لذا، يجب أن نكتب $i\alpha$ في الشكل القطبي $re^{i\theta}$، حيث $r$ هو المسافة من النقطة إلى الأصل في المستوى العقدي و$\theta$ هو الزاوية بين النقطة والمحور الأفقي.

نحن نعلم أن $6i = 6(\sin(\frac{\pi}{2}) + i\cos(\frac{\pi}{2}))$.

ومن ثم، نحصل على:

أيضًا نعلم أنه $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

بما أننا نتعامل مع القوى، فإننا نستخدم خاصية القوى للأعداد المركبة:

من هذا نجد أن $\alpha = 4$، لأن الجزء الحقيقي للعدد موجب.

إذا، نتوصل إلى أن $\alpha = 4$.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والخصائص في الجبر والأعداد المركبة. هذه هي القوانين والخصائص التي تم استخدامها في الحل:

1. الشروط المعطاة: نُعطي الشروط التي يجب أن تتوافق معها الأعداد المركبة $\alpha$ و $\beta$.

2. الأعداد المركبة: هي الأعداد التي تتكون من جزئين: جزء حقيقي وجزء خيالي، وتكتب على شكل $a + bi$ حيث $a$ هو الجزء الحقيقي و $b$ هو الجزء الخيالي.

3. جمع الأعداد المركبة: يتم جمع الأعداد المركبة عن طريق جمع أجزائهما الحقيقية والخيالية على حدة.

4. ضرب الأعداد المركبة بالعدد الخيالي $i$: يتم ضرب الأعداد المركبة بالعدد الخيالي $i$ عن طريق تطبيق القوانين الجبرية للعمليات الجبرية.

5. تمثيل الأعداد المركبة في الشكل القطبي: يُمكن تمثيل الأعداد المركبة في الشكل القطبي $re^{i\theta}$ حيث $r$ هو المسافة من النقطة إلى الأصل في المستوى العقدي و$\theta$ هو الزاوية بين النقطة والمحور الأفقي.

6. خصائص الأعداد المركبة في الشكل القطبي: عند ضرب الأعداد المركبة في الشكل القطبي، يتم ضرب المسافة وجمع الزوايا.

باستخدام هذه القوانين والخصائص، تم حل المسألة بالتفصيل الذي تم ذكره سابقًا. تمثل الخطوات الرئيسية في الحل في فصل الأعداد المركبة إلى جزئيها الحقيقي والخيالي، وتحليل شروط الحل المعطاة في المسألة، واستخدام العمليات الجبرية لحساب الجزء الحقيقي والخيالي للأعداد المركبة، وتحويل الأعداد المركبة إلى الشكل القطبي لتحليل الشروط بشكل أكثر دقة، وأخيرًا حل المعادلة للحصول على القيمة المطلوبة للمتغيرات.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، تم حل المسألة بشكل كامل ودقيق.