حل مسألة: سلسلة هندسية ونسبة الجمع (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن السلسلة الهندسية لها مجموع لا نهائي، فلنعتبر السلسلة الهندسية بالتالي:

$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots$

حيث:

• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو النسبة الشائعة بين العناصر المتتالية في السلسلة.

وحيث أننا نريد حساب قيمة $r$، دعونا نعتبر السلسلة بعد إزالة أول ثلاثة عناصر:

$S’ = ar^3 + ar^4 + ar^5 + \ldots$

لنحسب الفارق بين السلسلتين:

$S – S’ = (a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots) – (ar^3 + ar^4 + ar^5 + \ldots)$
$S – S’ = a + (ar – ar^3) + (ar^2 – ar^4) + \ldots$

المجموع اللانهائي للفارق بين السلسلتين يكون:

$S – S’ = a + ar(1 – r^2) + ar^2(1 – r^2) + \ldots$
$S – S’ = a(1 + r(1 – r^2) + r^2(1 – r^2) + \ldots)$

من المعطى في السؤال، نعلم أن مجموع السلسلة الأصلية هو 27 مرة مجموع السلسلة المتبقية. بمعنى آخر:

$S = 27S’$

نوجه اهتمامنا إلى تعبير $27S’$ من خلال تعويض قيمة $S’$ بمجموعها:

$S = 27(ar^3 + ar^4 + ar^5 + \ldots)$
$S = 27ar^3 + 27ar^4 + 27ar^5 + \ldots$

الآن لدينا معادلتين:

1. $S = a + (ar – ar^3) + (ar^2 – ar^4) + \ldots$
2. $S = 27ar^3 + 27ar^4 + 27ar^5 + \ldots$

بما أن كلا السلسلتين متطابقتين، يمكننا مقارنة المعاملات المماثلة في كلا السلسلتين. لنتفحص المعامل الأول:

$a = 27ar^3$
$1 = 27r^2$
$r^2 = \frac{1}{27}$
$r = \pm \sqrt{\frac{1}{27}}$

لكننا نختار قيمة موجبة لـ $r$ لأن النسبة الشائعة لا يمكن أن تكون سالبة.

إذاً:
$r = \sqrt{\frac{1}{27}} = \frac{1}{\sqrt{27}}$

هذا هو قيمة النسبة الشائعة للسلسلة الهندسية.

لحل المسألة المذكورة، نحتاج إلى استخدام مفهوم السلاسل الهندسية وبعض القوانين المتعلقة بها. سنستخدم القوانين التالية:

1. مجموع السلسلة الهندسية:
   إذا كانت $S$ هي مجموع سلسلة هندسية لها $n$ عنصرًا، وكانت $a$ هي العنصر الأول في السلسلة، وكان $r$ هو النسبة الشائعة، فإن مجموع السلسلة يُحسب باستخدام الصيغة:
   $S = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$

2. العلاقة بين مجموع سلسلتين متتاليتين:
   إذا كانت $S$ مجموع سلسلة هندسية لها عدد لا نهائي من العناصر، وكان $S’$ مجموع السلسلة بعد إزالة أول عدد معين $k$ من العناصر، فإن علاقتهما تكون:
   $S = r^k S’$

3. القانون الثاني للتكوينات اللامتناهية:
   إذا كانت $S$ مجموع سلسلة هندسية لها عدد لا نهائي من العناصر، وكان $S’$ مجموع السلسلة بعد إزالة العناصر الأولى $k$، فإن علاقتهما تكون:
   $S = a + S’$

الآن، دعونا نحل المسألة:

نعرف من الشرط في المسألة أن مجموع السلسلة الهندسية الأصلية هو 27 مرة مجموع السلسلة بعد إزالة أول ثلاثة عناصر. لنقم بتعريف المتغيرات:

• $a$ : العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ : النسبة الشائعة بين العناصر المتتالية في السلسلة.

بناءً على القانون الثاني للتكوينات اللامتناهية، يمكننا كتابة مجموع السلسلة الأصلية $S$ بالشكل التالي:
$S = a + (ar) + (ar^2) + \ldots$

ومجموع السلسلة بعد إزالة العناصر الأولى الثلاث $S’$ يكون كالتالي:
$S’ = (ar^3) + (ar^4) + (ar^5) + \ldots$

من القانون الثاني للتكوينات اللامتناهية، نعلم أن $S = a + S’$.

الآن، بموجب الشرط المعطى في المسألة، يمكن كتابته كالتالي:
$S = 27S’$

نستخدم الصيغة لمجموع السلسلة الهندسية لحساب قيمة $S$ و $S’$، ثم نقوم بوضع الشرط الثاني $S = 27S’$ لحساب قيمة $r$.

بعد ذلك، يتبقى فقط حساب قيمة $r$ باستخدام العلاقة المذكورة أعلاه وحل المعادلة. يمكن أن نأخذ في الاعتبار أن الحل الإيجابي هو الذي يناسب الموقف لأنه لا يمكن أن تكون النسبة الشائعة سالبة في سلسلة هندسية.