حل مسألة: سعة خزان الأنابيب

في خزان، هناك أنبوبان، أ وب، يمكن لكل منهما ملء الخزان بشكل منفصل في 12 و 15 دقيقة على التوالي. وهناك أنبوب ثالث، ج، يمكنه تصريف 42 لتراً من الماء في الدقيقة الواحدة. إذا فتحت جميع الأنابيب معًا، يمكن ملء الخزان في 15 دقيقة. ما هي سعة الخزان؟

لنحسب معدل العمل لكل أنبوب بشكل منفصل. أنبوب أ يملء الخزان في 12 دقيقة، لذا معدل عمله يكون 1/12 من الخزان في الدقيقة الواحدة. أما أنبوب ب، فيملء الخزان في 15 دقيقة، لذا معدل عمله يكون 1/15 من الخزان في الدقيقة الواحدة. أما أنبوب ج، فيصرف 42 لترًا في الدقيقة، لذا معدل عمله يكون -42 لترًا في الدقيقة الواحدة (سالب لأنه يصرف).

عندما تفتح جميع الأنابيب معًا، يمكننا جمع معدلات العمل الخاصة بهم. لذا:

$\text{معدل العمل الإجمالي} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} – 42$

ونعلم أنه عندما يتم ملء الخزان في 15 دقيقة، فإن العمل الإجمالي يكون وحدة. لذا:

$\text{معدل العمل الإجمالي} = 1$

الآن يمكننا حل المعادلة:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{15} – 42 = 1$

نحسب قيمة هذه التعبير للعثور على سعة الخزان.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد معدلات العمل لكل أنبوب ثم نجمعها معًا. سنستخدم القوانين التالية:

1. معدل العمل = الكمية / الزمن:

   • لحساب معدل العمل لكل أنبوب.

2. معدل العمل الإجمالي = مجموع معدلات العمل:

   • عندما تكون الأنابيب مفتوحة معًا.

3. العمل الإجمالي = السعة:

   • الخزان يمتلك سعة معينة.

لنقم بتحديد معدلات العمل لكل أنبوب:

لأنبوب أ:
$\text{معدل العمل}_{\text{أ}} = \frac{1}{\text{زمن}_{\text{أ}}} = \frac{1}{12}$

لأنبوب ب:
$\text{معدل العمل}_{\text{ب}} = \frac{1}{\text{زمن}_{\text{ب}}} = \frac{1}{15}$

لأنبوب ج:
$\text{معدل العمل}_{\text{ج}} = -42$
(سالب لأنه يقوم بتصريف الماء)

ثم نستخدم قانون معدل العمل الإجمالي:
$\text{معدل العمل الإجمالي} = \text{معدل العمل}_{\text{أ}} + \text{معدل العمل}_{\text{ب}} + \text{معدل العمل}_{\text{ج}}$

$\text{معدل العمل الإجمالي} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} – 42$

ونعلم أن معدل العمل الإجمالي يعادل وحدة (لأنه تم ملء الخزان في 15 دقيقة). لذا:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{15} – 42 = 1$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة السعة. يمكن استخدام طرق حل المعادلات لذلك، سواء بالتجريب والخطأ أو باستخدام الجبر. يُفضل استخدام الجبر للتعبير عن الإجابة بشكل دقيق.

مع الحل الرياضي، يمكن القول إن سعة الخزان هي القيمة التي تحقق المعادلة أعلاه.