حل مسألة: سرعة احتراق الشموع (مسألة رياضيات)

نفترض أن الشمعة عندما تُشعل تأخذ $X$ ثانية لتحرق السنتيمتر الأول من القمة، ثم $20$ ثانية لتحرق السنتيمتر الثاني، و $10k$ ثوانٍ لتحرق السنتيمتر ال$k$ . لنفترض أيضًا أنها تأخذ $T$ ثواني لتحرق تمامًا.

لنقم بحساب موقع الشمعة بعد $\frac{T}{2}$ ثانية. إذا كانت الشمعة قد حرقت بالفعل بعض الأجزاء، فإننا بحاجة إلى معرفة كم عدد السنتيمترات التي تم حرقها بعد مرور $\frac{T}{2}$ ثانية.

لنجد معدل حرق الشمعة في السنتيمتر الواحد:

السنتيمتر الأول: $\frac{1}{X}$ السنتيمتر في الثانية
السنتيمتر الثاني: $\frac{1}{20}$ السنتيمتر في الثانية
السنتيمتر الثالث: $\frac{1}{10k}$ السنتيمتر في الثانية
الآن، لنجد عدد السنتيمترات التي تم حرقها بعد مرور $\frac{T}{2}$ ثانية:

لكن هذا العدد يمثل الموقع الذي وصلت إليه الشمعة بعد مرور $\frac{T}{2}$ ثانية. ونحن بحاجة إلى معرفة الارتفاع المتبقي من الشمعة بعد ذلك الزمن. إذا كانت الشمعة طولها الكلي هو $119$ سم، فإن الارتفاع المتبقي سيكون:

ونريد أن نعرف الارتفاع المتبقي بعد مرور $\frac{T}{2}$ ثانية ليكون $35$ سم. لذا، يكون المعادلة كالتالي:

نحتاج الآن إلى حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $X$.

هذه هي الخطوات الرئيسية لحل المسألة، وسنقوم الآن بحساب قيمة $X$ باستخدام هذه المعادلة. لنكتب الأمر ببساطة:

الآن، يتبقى لنا فقط حساب القيمة المناسبة لـ $X$ بعد تحديد القيم الأخرى.

لحل المسألة المعروضة، سنستخدم القوانين الرياضية والتفاضلية لفهم سرعة حرق الشمعة وتحديد موقعها بعد فترة زمنية محددة. إليك الخطوات المفصلة لحل المسألة:

1. فهم الوضع الرياضي: نعرف أن الشمعة تحترق بسرعة متزايدة كلما انخفضت، حيث تأخذ وقتًا أقل لحرق السنتيمترات الأعلى وأكثر وقتًا لحرق السنتيمترات الأسفل.

2. تمثيل الوضع الرياضي بالمعادلات: لنمثل سرعة حرق الشمعة بشكل عام، نستخدم متغير $X$ للإشارة إلى الوقت اللازم لحرق السنتيمتر الأول، ونستخدم $k$ للإشارة إلى عدد السنتيمترات من الأعلى.

3. حساب الزمن اللازم لحرق كل سنتيمتر: نعلم أن الزمن اللازم لحرق السنتيمتر الأول هو $X$ ثانية، السنتيمتر الثاني هو $20$ ثانية، والسنتيمتر الثالث هو $10k$ ثانية. يمكن كتابة المعادلة العامة كما يلي:

   $$T = X + 20 + 10k$$

   حيث $T$ هو الوقت الكلي لحرق الشمعة.

4. حساب الموقع بعد فترة زمنية محددة: لحساب موقع الشمعة بعد مرور $\frac{T}{2}$ ثانية، نستخدم متوسط ​​السرعة، حيث تكون السرعة عكسية للوقت المطلوب لحرق كل سنتيمتر. لذا، نحتاج إلى حساب مجموع عكسي للسرعات وضربه في الزمن المطلوب.

5. تحديد الموقع بعد $\frac{T}{2}$ ثانية: سنستخدم المعادلة:

   $$\text{الموقع بعد } \frac{T}{2} \text{ ثانية} = 119 – \frac{T}{2} \left( \frac{1}{X} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10k} \right)$$

   حيث $119$ هو ارتفاع الشمعة بالسنتيمتر بالكامل.

6. حل المعادلة للعثور على قيمة $X$: بمجرد وضع جميع القيم المعروفة في المعادلة، يمكننا حساب قيمة $X$ من خلال حل المعادلة.

7. التحقق من الإجابة: بمجرد العثور على قيمة $X$، يمكننا التحقق من الإجابة للتأكد من أن الموقع بعد مرور $\frac{T}{2}$ ثانية هو $35$ سنتيمترًا.

هذه الخطوات توضح كيفية حل المسألة باستخدام الرياضيات والتفاضل. تتطلب الخطوات الدقيقة حسابات دقيقة وتحليل عميق للمعطيات المقدمة في المسألة.