حل مسألة: سداسي ذو أضلاع متنوعة (مسألة رياضيات)

السداسي الجامد $ABCDEF$ المحدب يحتوي على طولين للأضلاع فقط، حيث يبلغ طول الضلع $AB$ 5 وطول الضلع $BC$ 6. مجموع طول أضلاع السداسي يبلغ 34 وحدة. كم من أضلاع السداسي لديها طول 6 وحدات؟

لنمثل الأضلاع القصيرة بـ $x$ والأضلاع الطويلة بـ $y$. من المعطيات، نعلم أن $x=5$ و$y=6$. يمكننا كتابة المعادلة التالية لمجموع طول الأضلاع:

$5 + 6 + x + y + x + y = 34$

نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة وحساب القيم:

$17 + 2x + 2y = 34$

$2x + 2y = 17$

$x + y = \frac{17}{2}$

الآن نعلم أن $x=5$، لذا يمكننا استبدال القيمة في المعادلة:

$5 + y = \frac{17}{2}$

$y = \frac{17}{2} – 5$

$y = \frac{7}{2}$

الأن، نعرف قيمة $y$ وهي الضلع الطويل، ونستطيع استخدامها لحساب عدد الأضلاع ذات الطول 6:

$\frac{6}{\frac{7}{2}} = \frac{12}{7}$

لكن يجب أن يكون العدد نصيًا، لذلك نقرب الناتج إلى أقرب عدد صحيح، ونجد أن هناك 12 ضلعًا بطول 6 وحدة في السداسي $ABCDEF$.

لحل المسألة، سنستخدم اثنين من القوانين الرئيسية في الهندسة الرياضية: قانون جمع مجموع طول الأضلاع في الشكل الهندسي وقانون توزيع الطول على الأضلاع.

لنمثل الأضلاع القصيرة بـ $x$ والأضلاع الطويلة بـ $y$. من المعطيات، نعلم أن $x=5$ و$y=6$. يمكننا استخدام قانون جمع مجموع طول الأضلاع لكتابة المعادلة التالية:

$5 + 6 + x + y + x + y = 34$

نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة:

$17 + 2x + 2y = 34$

ونقوم بحساب القيم:

$2x + 2y = 17$

$x + y = \frac{17}{2}$

هنا نستخدم قانون توزيع الطول على الأضلاع، حيث يقول إن مجموع الأطوال في الشكل الهندسي يتوزع بالتساوي على جميع الأضلاع. لذلك، إذا كنا نعلم أن لدينا طول $x$ يوجد في $n$ أضلاع، يمكننا حساب طول الضلع الطويل $y$ باستخدام العلاقة:

$y = \frac{\text{مجموع الأطوال}}{n}$

هنا، $n$ هو عدد الأضلاع التي تحتوي على الطول $x$. في هذه المسألة، $n=2$ لأن لدينا طولين متمايزين $x$ و $y$.

$y = \frac{\frac{17}{2}}{2} = \frac{17}{4}$

الآن نعرف قيمة $y$ وهي الضلع الطويل. وبما أن السداسي مكون من 6 أضلاع، يمكننا حساب عدد الأضلاع ذات الطول 6 وحدات:

$\frac{6}{\frac{17}{4}} = \frac{24}{17}$

نقرب هذا الناتج إلى أقرب عدد صحيح، ونجد أن هناك 12 ضلعًا بطول 6 وحدة في السداسي $ABCDEF$.