حل مسألة رياضية: مجموع الأعداد الحقيقية (مسألة رياضيات)

إذا كان مجموع مربعات الأعداد الحقيقية غير السالبة $a$، $b$، و $c$ يساوي $39$، وكان $ab + bc + ca = 21$، فما مجموع $a$، $b$، و $c$؟

لنبدأ بتحليل المعطيات. يُعطى لنا مجموع مربعات الأعداد الحقيقية غير السالبة كالتالي:

$a^2 + b^2 + c^2 = 39$

وأيضًا مجموع المنتجات المتقاطعة بين هذه الأعداد كالتالي:

$ab + bc + ca = 21$

نحتاج إلى استخدام بعض التلاعب الجبرية لحل هذه المعادلات. لنبدأ بملاحظة أننا يمكن أن نحصل على مجموع $a + b + c$ من مربع المجموع كالتالي:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

الآن، لدينا المعلومات الكافية لوضع القيم المعطاة في المعادلة:

$(a + b + c)^2 = 39 + 2(21) = 39 + 42 = 81$

لذا:

$a + b + c = \sqrt{81} = 9$

إذاً، مجموع الأعداد $a$، $b$، و $c$ هو $9$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم العديد من الخطوات الجبرية والقوانين الرياضية المتعلقة بالجمع والضرب والتلاعب بالمعادلات. دعونا نبدأ بتفصيل الحل:

المعطيات:

1. مجموع مربعات الأعداد الحقيقية غير السالبة $a$، $b$، و $c$ هو $39$.
2. مجموع المنتجات المتقاطعة بين هذه الأعداد هو $21$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع والضرب في الجبر.
2. قانون توزيع الضرب.
3. تعريف مجموع المربعات ومربع المجموع.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المعطيات لحل المسألة:

لنبدأ بتطبيق قانون مجموع مربعات الأعداد الحقيقية:
$a^2 + b^2 + c^2 = 39$

ثم، نستخدم المعطى الثاني لنكتب:
$ab + bc + ca = 21$

الخطوة التالية هي محاولة العثور على مجموع $a + b + c$. يمكننا استخدام قانون توزيع الضرب لحل ذلك. لذا، نقوم بفتح القوس في المعادلة:
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

ونستبدل القيم التي لدينا:
$(a + b + c)^2 = 39 + 2(21) = 39 + 42 = 81$

لذا:
$a + b + c = \sqrt{81} = 9$

وهكذا، وجدنا أن مجموع الأعداد $a$، $b$، و $c$ هو $9$.

باختصار، استخدمنا القوانين الأساسية للجبر، مثل قوانين الجمع والضرب وتوزيع الضرب، بالإضافة إلى تطبيق المعطيات المعطاة في المسألة لإيجاد الحل.