مسائل رياضيات

حل مسألة رياضية: كسر وجمع الأعداد (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 15/12/2023
0

إذا كانت pq=45\frac{p}{q} = \frac{4}{5}، فإن قيمة 257+2q−p2q+p\frac{25}{7} + \frac{2q – p}{2q + p} هي:

257+2q−p2q+p\frac{25}{7} + \frac{2q – p}{2q + p}

مواضيع ذات صلة

للبداية، لنجد قيمة 2q−p2q+p\frac{2q – p}{2q + p}، حيث يمكننا تحويل الكسر إلى واحد يحتوي على نفس المقام:

2q−p2q+p=(2q−p)(2q−p)(2q+p)(2q−p)\frac{2q – p}{2q + p} = \frac{(2q – p)(2q – p)}{(2q + p)(2q – p)}

=4q2−4qp+p24q2−p2= \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

الآن، لدينا قيمة 2q−p2q+p\frac{2q – p}{2q + p} هي 4q2−4qp+p24q2−p2\frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}، لنستخدمها في الكسر الأصلي:

257+2q−p2q+p\frac{25}{7} + \frac{2q – p}{2q + p}

=257+4q2−4qp+p24q2−p2= \frac{25}{7} + \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

الآن، لنقم بجمع الكسور. أولاً، نجمع الأجزاء الصحيحة:

257\frac{25}{7} يمكن تحويلها إلى كسر بضربها في 77\frac{7}{7} للحصول على نفس المقام:

=25×77×7+4q2−4qp+p24q2−p2= \frac{25 \times 7}{7 \times 7} + \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

=1757+4q2−4qp+p24q2−p2= \frac{175}{7} + \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

الآن، لدينا كسرين بنفس المقام، لذا يمكن جمع الأجزاء العددية:

=175+(4q2−4qp+p2)7= \frac{175 + (4q^2 – 4qp + p^2)}{7}

=4q2−4qp+p2+1757= \frac{4q^2 – 4qp + p^2 + 175}{7}

وهذه هي القيمة النهائية للتعبير 257+2q−p2q+p\frac{25}{7} + \frac{2q – p}{2q + p} والتي يمكن تبسيطها إلى 4q2−4qp+p2+1757\frac{4q^2 – 4qp + p^2 + 175}{7}.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة المعطاة:

المعطيات:
pq=45\frac{p}{q} = \frac{4}{5}

التعبير المراد حساب قيمته:
257+2q−p2q+p\frac{25}{7} + \frac{2q – p}{2q + p}

الحل:

  1. التعبير الأصلي:
    257+2q−p2q+p\frac{25}{7} + \frac{2q – p}{2q + p}

  2. تحويل الكسر:
    يمكن تحويل الكسر 2q−p2q+p\frac{2q – p}{2q + p} إلى الشكل البسيط عن طريق ضرب البسط والمقام في العدد الناتج من طرح المقام من البسط:
    2q−p2q+p=(2q−p)(2q−p)(2q+p)(2q−p)=4q2−4qp+p24q2−p2\frac{2q – p}{2q + p} = \frac{(2q – p)(2q – p)}{(2q + p)(2q – p)} = \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

  3. جمع الكسور:
    الآن يمكن جمع الكسور، حيث يكون لدينا:
    257+4q2−4qp+p24q2−p2\frac{25}{7} + \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

  4. جمع الأجزاء الصحيحة:
    قمنا بتحويل 257\frac{25}{7} إلى كسر بضربها في 77\frac{7}{7} لتحصل على نفس المقام:
    1757+4q2−4qp+p24q2−p2\frac{175}{7} + \frac{4q^2 – 4qp + p^2}{4q^2 – p^2}

  5. توحيد المقام:
    جمعنا الكسور لتصبح:
    175+(4q2−4qp+p2)7\frac{175 + (4q^2 – 4qp + p^2)}{7}

  6. تبسيط الكسر:
    يمكن تبسيط الكسر الناتج إلى:
    4q2−4qp+p2+1757\frac{4q^2 – 4qp + p^2 + 175}{7}

قوانين الجبر المستخدمة:

  • قانون ضرب الكسور:
    ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

  • تحويل الكسر:
    a−bc+d=(a−b)(c−d)(c+d)(c−d)\frac{a – b}{c + d} = \frac{(a – b)(c – d)}{(c + d)(c – d)}

  • جمع الكسور:
    ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

  • ضرب البسط والمقام لتحويل الكسر:
    ab=a×cb×c\frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times c}

  • توحيد المقام:
    لجمع أو طرح الكسور، يجب أن يكون لديها نفس المقام.

اخر تحديث 15/12/2023
0