المسألة الرياضية:
لدينا معادلة من الدرجة الثانية تعطى بالصيغة التالية: $4x^2+ax+8x+9=0$.
نريد أن نجد قيمة لمتغير $a$ بحيث يكون للمعادلة حلاً وحيدًا للمتغير $x$.
حل المسألة:
للعثور على القيم الممكنة لـ $a$، يجب أن يكون للمعادلة حلاً وحيدًا، وهذا يعني أن معامل الـ $x^2$ والـ $x$ في المعادلة يجب أن يكونان متساويين. في هذه الحالة، يمكننا مقارنة المعاملات للحصول على القيمة المطلوبة.
لنقارن معاملات الـ $x^2$، لدينا 4 في المعامل الأول، وبما أن لدينا $4x^2$، فإن المعامل الثاني يجب أن يكون 4 أيضًا.
لنقارن معاملات الـ $x$، لدينا $ax$ في المعامل الأول و $8x$ في المعامل الثاني، لذلك يجب أن يكون $a+8=0$ للحصول على حلاً وحيدًا.
نقوم بحل المعادلة $a+8=0$ للعثور على قيمة $a$ المرغوبة. نطرح 8 من الطرفين، ونحصل على $a=-8$.
إذًا، القيمة الوحيدة لـ $a$ التي تجعل للمعادلة حلاً وحيدًا هي $a=-8$.
الآن، نحتاج إلى القيم الأخرى التي تحقق نفس الشرط. يمكننا استخدام قاعدة الضرب للعثور على القيمة الثانية.
نضرب المعاملين المستقلين (الثابتين) في المعادلة الأصلية، ونجد $4 * 9 = 36$.
لدينا الآن قاعدة ضرب نجدها بأن تكون $a+8=-36$، حيث أننا نريد ضرب المعاملين ليكون الناتج 36.
نحل المعادلة لنجد القيمة الثانية لـ $a$، حيث نطرح 8 من الطرفين ونحصل على $a=-44$.
إذًا، القيمتين لـ $a$ هما $-8$ و $-44$، ومطلوب منا الحصول على مجموعهما.
المجموع: $-8 + (-44) = -52$.
المزيد من المعلومات
نعود إلى المعادلة الرياضية $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ ونرغب في إيجاد القيم الممكنة لـ $a$ بحيث يكون للمعادلة حلاً وحيدًا.
لحل هذه المسألة، سنعتمد على قاعدتين أساسيتين:
-
شرط الحل الوحيد:
لكي يكون للمعادلة حلاً وحيدًا، يجب أن يكون معامل الـ $x^2$ في المعادلة متساويًا للصفر، وهذا يعني أن المعاملين لـ $x^2$ في المعاملين الأول والثاني يجب أن يكونوا متساوين.في هذه المسألة، لدينا $4x^2$، لذا المعامل الآخر يجب أن يكون 4 أيضًا.
-
قاعدة الضرب:
نستخدم قاعدة الضرب لحساب القيم الأخرى لـ $a$ بتكوين معامل ثابت يكون متساويًا لضرب المعاملين الثابتين في المعادلة. في هذه الحالة، نريد أن يكون المعامل الثابت (المستقل) يكون متساويًا لضرب 8 و 9.
حل المسألة خطوة بخطوة:
أولًا، نستخدم شرط الحل الوحيد:
نطرح 8 من الطرفين للحصول على قيمة $a$:
الآن، نستخدم قاعدة الضرب:
نطرح 8 من الطرفين للحصول على قيمة الـ $a$ الثانية:
لذا، القيم الممكنة لـ $a$ هي $-8$ و $-44$.
الآن، نجمع هاتين القيمتين للحصول على الإجابة النهائية:
إذًا، الإجابة هي -52.