حل مسألة رياضية: قيمة دالة f(40) (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: إذا كانت الدالة $f(x)$ تحقق المعادلة $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ لكل الأعداد الحقيقية الموجبة $x$ و $y$، وكانت قيمة الدالة عند $x = 30$ تساوي $20$، فما هي قيمة الدالة عند $x = 40$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، سنستخدم العلاقة المعطاة $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ ونستبدل فيها $x$ بقيمة معينة، في هذه الحالة $30$، ونعوض قيمة $f(x)$ بالقيمة المعروفة وهي $20$.

إذاً:
$f(30y) = \frac{f(30)}{y}$

ونعوض فيها قيمة $f(30)$ بالقيمة المعطاة وهي $20$:
$f(30y) = \frac{20}{y}$

الآن، نريد إيجاد قيمة $f(40)$، لكن لا يوجد لدينا مباشرة معادلة تتعلق بقيمة $f(40)$، لكن يمكننا اللجوء إلى العلاقة المعطاة مرة أخرى ونستخدمها بشكل مناسب.

نستخدم العلاقة $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ مرة أخرى، ونعوض فيها بقيمة $x = 30$ و $y = \frac{4}{3}$ (نحسب هذه القيمة بناءً على القيمة المطلوبة $f(40)$):
$f\left(30 \times \frac{4}{3}\right) = \frac{f(30)}{\frac{4}{3}}$

نبسط الجهة اليمنى من المعادلة:
$f(40) = \frac{20}{\frac{4}{3}}$

نقوم بضرب الجهة اليمنى في الكسر العكسي:
$f(40) = 20 \times \frac{3}{4}$

نقوم بالضرب:
$f(40) = 15$

إذاً، قيمة الدالة $f(40)$ هي $15$.

سنقوم بحل المسألة باستخدام العلاقة المعطاة: $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$.

أولاً، نعوض في العلاقة $f(30y) = \frac{20}{y}$ حيث أن $x = 30$ و $f(x) = 20$:
$f(30y) = \frac{20}{y}$

الآن، للوصول إلى قيمة $f(40)$، نستخدم العلاقة مرة أخرى بتعيين $x = 30 \times \frac{4}{3}$ (حيث أننا نفترض أن $y = \frac{4}{3}$ للتوصل إلى $40$):
$f\left(30 \times \frac{4}{3}\right) = \frac{f(30)}{\frac{4}{3}}$

نبسط الجهة اليمنى:
$f(40) = \frac{20}{\frac{4}{3}}$

ثم نقوم بضرب الكسر اليميني في الكسر العكسي:
$f(40) = 20 \times \frac{3}{4}$

الضرب:
$f(40) = 15$

قوانين وخطوات الحل:

1. العلاقة الأساسية: استخدمنا العلاقة المعطاة $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$.

2. التعويض: نقوم بتعويض قيمة $x = 30$ و $f(x) = 20$ في العلاقة للحصول على $f(30y) = \frac{20}{y}$.

3. استخدام العلاقة مرة أخرى: للعثور على قيمة $f(40)$، استخدمنا العلاقة مرة أخرى بتعيين $x = 30 \times \frac{4}{3}$ وحسبنا قيمة $f(40)$ باستخدامها.

4. البسط والتوسيع: نبسط الجهة اليمنى للعلاقة للتوصل إلى تعبير أبسط.

5. الضرب في الكسر العكسي: للتخلص من الكسر في الجهة اليمنى، قمنا بضربه في الكسر العكسي.

6. الحسابات البسيطة: نفذنا الحسابات البسيطة للوصول إلى القيمة النهائية لـ $f(40)$ والتي هي $15$.

بهذه الخطوات، تم حل المسألة باستخدام القوانين الرياضية والعلاقات المعطاة في السؤال.