حل مسألة رياضية: قيمة التعبير الجبري (مسألة رياضيات)

المسألة:
إذا كانت قيمتا $a$ و $b$ تحققان المعادلتين $a+b=6$ و$a-b=2$، فما هي قيمة التعبير $a^2-b^2$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لفارق مربعين:
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

نعلم من البيانات المعطاة أن $a+b=6$ و $a-b=2$. لنقم بتطبيق هاتين المعلومتين في الصيغة:
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) = 6 \times 2$

الآن نقوم بحساب الناتج:
$a^2 – b^2 = 12$

إذاً، قيمة التعبير $a^2 – b^2$ هي 12.

بالتأكيد، دعونا نستكمل الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام بعض القوانين الجبرية.

لدينا المعادلات:
$a + b = 6$
$a – b = 2$

للعثور على قيم $a$ و $b$، يمكننا حل هذا النظام من المعادلات. للقضاء على $b$، يمكننا جمع المعادلتين:
$(a + b) + (a – b) = 6 + 2$

هذا يؤدي إلى إلغاء المتغير $b$، ونحصل على:
$2a = 8$

ثم، نقوم بقسم كلا الطرفين على 2 للعثور على قيمة $a$:
$a = \frac{8}{2} = 4$

الآن، بعد أن عرفنا قيمة $a$، يمكننا حساب $b$ باستخدام إحدى المعادلات الأصلية. لنستخدم المعادلة $a + b = 6$:
$4 + b = 6$

نطرح 4 من الطرفين للحصول على قيمة $b$:
$b = 6 – 4 = 2$

الآن، لدينا قيم $a = 4$ و $b = 2$. يمكننا استخدام هذه القيم في السؤال الأصلي:
$a^2 – b^2 = 4^2 – 2^2$

والآن نستخدم قاعدة الفارق المربعي:
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) = (4 + 2)(4 – 2) = 6 \times 2 = 12$

لذلك، قيمة التعبير $a^2 – b^2$ هي 12.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الفارق المربعي: $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
2. جمع المعادلات للتخلص من المتغير الذي نريد القضاء عليه.