حل مسألة رياضية: قوى الأس وتقسيم الأعداد (مسألة رياضيات)

إذا كان $2^x$ يمثل أعلى قوة من 2 التي تقسم 144، و $3^y$ يمثل أعلى قوة من 3 التي تقسم 144، فما هي قيمة $\left(\frac15\right)^{y – x}$؟

الحل:

نبدأ بحساب القوة الأعلى للعدد 2 التي تقسم 144. نعرف أن 144 يمكن تمثيلها كـ $2^4 \times 3^2$. لذا، نستنتج أن القوة الأعلى للعدد 2 التي تقسم 144 هي 4.

بنفس الطريقة، نعرف أن القوة الأعلى للعدد 3 التي تقسم 144 هي 2.

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة التعبير $\left(\frac15\right)^{y – x}$.

نعلم أن $\frac15 = 5^{-1}$.

باستخدام خاصية الأسس، يمكننا كتابة التعبير بالشكل التالي:
$\left(\frac15\right)^{y – x} = (5^{-1})^{y – x} = 5^{-(y – x)} = 5^{x – y}$

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة $5^{x – y}$.

إذاً، نحتاج إلى قيمة $(x – y)$.

نعلم أن $x = 4$ و $y = 2$.

لذا، $x – y = 4 – 2 = 2$.

وبالتالي، $5^{x – y} = 5^2 = 25$.

إذاً، قيمة التعبير $\left(\frac15\right)^{y – x}$ هي 25.

بالطبع، دعنا نقدم تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة في الحسابات.

1. تقسيم 144 إلى عوامل أولية:
   نبدأ بتقسيم العدد 144 إلى عوامل أولية لفهم كيفية تمثيله بأسلوب الأسس للأعداد الأولية. يمكن كتابة 144 على النحو التالي: $144 = 2^4 \times 3^2$.

2. قوة الأس:
   في هذه المسألة، نستخدم قوانين الأسس حيث إذا كان لدينا $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

3. تحديد قوة 2:
   نعرف أن العدد 144 يحتوي على عوامل 2 و 3. قوة العدد 2 التي تقسم 144 هي العدد التي تمثله $2^x$.

4. تحديد قوة 3:
   قوة العدد 3 التي تقسم 144 هي العدد التي تمثله $3^y$.

5. حساب الفرق بين الأسس:
   نقوم بحساب الفرق بين الأسس $y – x$ للعثور على التعبير المطلوب.

6. تطبيق القوانين على التعبير:
   بمجرد حساب الفرق بين الأسس، نستخدم قانون الأس للتعبير عن التعبير بشكل مختصر.

7. الحساب النهائي:
   بمعرفة قيمة $(y – x)$، نستخدم القوانين الجبرية لحساب قيمة التعبير النهائية.

بالاستناد إلى الخطوات السابقة والقوانين المذكورة، نصل إلى أن قيمة التعبير $\left(\frac15\right)^{y – x}$ تساوي 25.

هذا يمثل خلاصة العملية الحسابية والتفكيرية المطلوبة لحل هذا النوع من المسائل الرياضية. استخدمنا القوانين الجبرية الأساسية مع فهم عميق للطريقة التي يتم فيها تقسيم الأعداد إلى عواملها الأولية واستخدام الأسس للتعبير عن القوى.