العملية $*$ معرفة للأعداد الصحيحة غير الصفر على النحو التالي: $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. إذا كان $a+b = 9$ و $a \times b = 20$، فما هو قيمة $a * b$؟ قد تتمثل هذه المشكلة في إيجاد قيمة التعبير $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ عندما تكون $a + b = 9$ و $a \times b = 20$.
للبداية، دعونا نقوم بحساب قيمة $a$ و $b$. يمكننا استخدام معلومات $a+b = 9$ و $a \times b = 20$ لإيجاد القيم. يمكننا البدء بحل المعادلات بطرح $a$ من المعادلة الأولى:
ثم نعوض قيمة $b$ في المعادلة الثانية:
الآن سنقوم بحل المعادلة التي تحتوي على المتغيرين $a$ و $b$. يمكن أن نكتب المعادلة بشكل مطوّل كما يلي:
الآن نقوم بفتح القوس وترتيب الأعضاء:
نقلب المعادلة لتكون معادلة تربيعية قياسية:
الآن يمكننا حل هذه المعادلة الثنائية باستخدام العوامل:
من هنا، يمكننا أن نستنتج أن $a = 5$ أو $a = 4$. ونعود إلى المعادلة $b = 9 – a$ للحصول على القيم المقابلة لـ $b$. لذا، إما $a = 5$ و $b = 4$ أو $a = 4$ و $b = 5$.
الآن، لحساب قيمة $a * b$، نستخدم العملية المعرفة:
لنقم بحساب القيمة في الحالتين:
- عندما $a = 5$ و $b = 4$:
- عندما $a = 4$ و $b = 5$:
لذا، قيمة $a * b$ هي $\frac{9}{20}$.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، استخدمنا القوانين والمفاهيم الرياضية المتعلقة بالعمليات الحسابية والمعادلات التربيعية. القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها تشمل:
-
قانون الجمع والضرب:
- استخدمنا معلومة $a + b = 9$ للحصول على علاقة بين $a$ و $b$.
-
معادلة التكامل:
- استخدمنا معلومة $a \times b = 20$ لتشكيل معادلة تربيعية.
-
حل المعادلات التربيعية:
- استخدمنا الطريقة العامة لحل معادلة تربيعية، وهي تحويل المعادلة إلى صيغة قياسية ثم حساب الجذور.
-
التبديل بين المتغيرات:
- استخدمنا الحلا الذي حصلنا عليه للمعادلة التربيعية للعثور على قيم $a$ و $b$.
-
التبديل في التعبير:
- استخدمنا القيم المعرفة لـ $a$ و $b$ لتبديلهم في التعبير $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
-
الحسابات الجبرية:
- قمنا بعمليات الجمع والتبديل في الكسور للحصول على القيمة النهائية.
تلك هي القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها لحل المسألة. الخطوات الرياضية تمثلت في حل المعادلة التربيعية والتعويض في التعبير، وقد قدمنا شرحًا تفصيليًا لكل خطوة.