حل مسألة رياضية: دوال ومعادلات (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x) = \frac{x}{5} + 3$ و $g(x) = 4-x$، وإذا كان $f(g(a)) = 5$، فما قيمة $a$؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام التعبيرات المعطاة وتطبيقها بالتسلسل المناسب.

أولاً، سنقوم بحساب $g(a)$ باستخدام الدالة $g(x)$. لذا:

$g(a) = 4 – a$

ثم، سنستخدم $g(a)$ كمدخل للدالة $f(x)$، لنحسب $f(g(a))$. إذاً:

$f(g(a)) = f(4 – a)$

وباستخدام الدالة $f(x)$، نحصل على:

$f(4 – a) = \frac{4 – a}{5} + 3$

ووفقاً للشرط الذي يقول إن $f(g(a)) = 5$، نضعه في المعادلة:

$\frac{4 – a}{5} + 3 = 5$

الآن، سنقوم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $a$. لنبدأ بطرح 3 من الجانبين:

$\frac{4 – a}{5} = 5 – 3$
$\frac{4 – a}{5} = 2$

الآن، نضرب الطرفين في 5 للتخلص من المقام:

$4 – a = 10$

ثم، نطرح 4 من الجانبين:

$-a = 10 – 4$
$-a = 6$

ونقوم بضرب المعادلة في -1 للتخلص من السالب:

$a = -6$

إذاً، قيمة $a$ هي -6.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتطبيق القوانين والخطوات الرياضية بدقة للعثور على قيمة $a$ التي تحقق $f(g(a)) = 5$.

أولاً وقبل كل شيء، لنستعرض الدوال المعطاة:

الدالة $f(x) = \frac{x}{5} + 3$ تمثل خطا مستقيماً، حيث يكون الميل $\frac{1}{5}$ والتقاطع مع محور الصفر عند $y = 3$.

الدالة $g(x) = 4 – x$ تمثل خطاً آخر، حيث يكون الميل -1 والتقاطع مع محور الصفر عند $x = 4$.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه الدوال على بعضها للعثور على $f(g(a))$ وحساب قيمة $a$.

1. نبدأ بحساب $g(a)$ باستخدام دالة $g(x)$:
   $g(a) = 4 – a$

2. ثم نقوم بإدخال هذه القيمة في دالة $f(x)$ للحصول على $f(g(a))$:
   $f(g(a)) = f(4 – a)$

3. نستخدم تعبير دالة $f(x)$ لحساب $f(4 – a)$:
   $f(4 – a) = \frac{4 – a}{5} + 3$

4. وبما أن $f(g(a)) = 5$، فإننا نعبّر عن ذلك بالمعادلة:
   $\frac{4 – a}{5} + 3 = 5$

5. نقوم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $a$ المطلوبة.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

• قانون تكامل الدوال وتطبيق دوال على بعضها.
• قوانين الجبر والتحويلات الجبرية مثل جمع وطرح الأعداد وضربها.
• استخدام الخواص الأساسية للدوال مثل قوانين الدوال الخطية وتطبيقها في المعادلات.

باستخدام هذه القوانين والخطوات الرياضية، نستطيع الوصول إلى القيمة الصحيحة لـ $a$ وهي -6.