حل مسألة رياضية: دوال وقيمة معينة (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x) = 3x^2 – 7$ والشرط $g(f(4)) = 9$ معروفين. نحتاج إلى حساب $g(f(-4))$.

لحساب $f(4)$، نستبدل $x$ بالقيمة $4$ في $f(x)$:
$f(4) = 3(4)^2 – 7 = 3 \times 16 – 7 = 48 – 7 = 41$

وفقًا للشرط $g(f(4)) = 9$، لدينا $g(41) = 9$.

الآن، نحتاج إلى حساب $f(-4)$، فنستبدل $x$ بالقيمة $-4$ في $f(x)$:
$f(-4) = 3(-4)^2 – 7 = 3 \times 16 – 7 = 48 – 7 = 41$

نلاحظ أن $f(-4) = f(4) = 41$.

بما أن $f(-4) = f(4)$، فإنهما يتبعان نفس القيمة وفقًا للدالة $f(x)$.

لذا، $g(f(-4)) = g(f(4)) = 9$.

إذاً، قيمة $g(f(-4))$ هي $9$.

لنقوم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل والتحليل الرياضي.

الدالة $f(x) = 3x^2 – 7$ هي دالة من الدرجة الثانية، وهي عبارة عن دالة رباعية. قوانين الجبر وتبديل القيم تعمل بشكل رئيسي في حساباتنا هنا.

أولاً، لحساب $f(4)$، نستخدم القانون الأساسي لتعريف $f(x)$ ونعوض $x$ بقيمة $4$ في التعبير:
$f(4) = 3(4)^2 – 7 = 3 \times 16 – 7 = 48 – 7 = 41$

الآن، وبناءً على الشرط $g(f(4)) = 9$، فإننا نعرف أن قيمة $g$ عند $f(4)$ تساوي $9$، أي $g(41) = 9$.

ثم، نقوم بحساب $f(-4)$ بنفس الطريقة:
$f(-4) = 3(-4)^2 – 7 = 3 \times 16 – 7 = 48 – 7 = 41$

نجد أن $f(-4) = f(4) = 41$. هذا يتوافق مع طبيعة الدالة الرباعية، حيث تكون متناظرة بالنسبة للصفر.

وبما أن $f(-4) = f(4)$، فإن القيمتين تتطابقان وفقًا لدالة $f(x)$.

وبالتالي، $g(f(-4)) = g(f(4)) = 9$.

بالتالي، قيمة $g(f(-4))$ هي $9$.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر وقوانين تعريف الدوال لحساب القيم. كما قمنا بالتحليل الرياضي للتأكد من صحة الإجابة ومطابقتها للشرط المعطى في المسألة.