القيم لدالة f(x) معطاة أدناه:
xf(x)310417X26637750
حساب f−1(f−1(50)×f−1(10)+f−1(26))، حيث الإجابة المتوقعة هي 5. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟
الحل:
لنقم بفحص العمليات التي تمر بها الدالة العكسية f−1(x) لفهم كيف يمكننا الوصول إلى الإجابة المطلوبة.
أولاً، لنحسب f−1(50)، حيث f(7)=50، لذا f−1(50)=7.
ثم، لنحسب f−1(10) و f−1(26). يتبين أن f(3)=10، لذا f−1(10)=3، وأيضاً f(4)=17، لذا f−1(17)=4، وأخيراً f(6)=37، لذا f−1(26)=6.
الآن، نستخدم هذه القيم في العملية المطلوبة:
f−1(f−1(50)×f−1(10)+f−1(26))=f−1(7×3+6)=f−1(27)
حيث أن f(6)=37، لذا f−1(27)=6.
وبالتالي، يتبين أن القيمة المتوقعة f−1(f−1(50)×f−1(10)+f−1(26)) هي 6 وليست 5 كما هو مذكور في السؤال.
وبالتالي، نعتبر أن الإجابة المقترحة 5 غير صحيحة. لكن يمكننا معرفة قيمة المتغير المجهول X بمجرد مراعاة الجدول. إذا كانت f(6)=37 و f(7)=50، يمكننا استنتاج أن X يكون بين 37 و 50.
سأقوم بتقديم تفاصيل أكثر لحل المسألة وذلك باستخدام قوانين الدوال والعمليات الرياضية المختلفة.
المسألة تتعلق بدالة f(x) ودالتها العكسية f−1(x). نعلم أن:
-
إذا كانت f(a)=b، فإن f−1(b)=a والعكس صحيح.
-
يمكن استخدام خاصية الدالة العكسية لإلغاء تأثير الدالة الأصلية.
لنبدأ بحساب قيم f−1(50)، حيث f(7)=50، لذا f−1(50)=7.
ثم نحسب قيم f−1(10) و f−1(26). يتبين أن f(3)=10، لذا f−1(10)=3، وأيضاً f(4)=17، لذا f−1(17)=4، وأخيرًا f(6)=37، لذا f−1(26)=6.
الآن، نستخدم هذه القيم في العملية المطلوبة:
f−1(f−1(50)×f−1(10)+f−1(26))=f−1(7×3+6)=f−1(27)
حيث أن f(6)=37، لذا f−1(27)=6.
باستخدام هذه الخطوات، نصل إلى أن قيمة التعبير f−1(f−1(50)×f−1(10)+f−1(26)) هي 6.
القوانين المستخدمة:
- خاصية الدالة العكسية في إلغاء تأثير الدالة الأصلية.
- استخدام القيم المعطاة في الجدول لحساب قيم الدوال وعكستها.
وفي الختام، يجدر بالذكر أن القيمة المتوقعة هي 6 وليست 5 كما ذكر في السؤال.
