حل مسألة رياضية: دالة الجبر الخطي (مسألة رياضيات)

الدالة $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ تُعطى بواسطة العلاقة التالية:
$f(x) + 2f(1 – x) = 3x^2$

نريد حساب قيمة $f(4)$.

لحل هذه المسألة، دعونا نقوم بتبسيط العلاقة المعطاة:
$f(x) + 2f(1 – x) = 3x^2$

سنبدأ بتعويض $x = 1$ لنحصل على علاقة جديدة:
$f(1) + 2f(0) = 3 \times 1^2$
$f(1) + 2f(0) = 3$

ثم، سنقوم بتعويض $x = 0$ لنحصل على علاقة أخرى:
$f(0) + 2f(1) = 3 \times 0^2$
$f(0) + 2f(1) = 0$

الآن، لدينا نظامين من المعادلات:

1. $f(1) + 2f(0) = 3$
2. $f(0) + 2f(1) = 0$

يمكننا حل هذا النظام للحصول على قيم $f(0)$ و $f(1)$. بعد الحصول على هذه القيم، سنكون قادرين على حساب قيمة $f(4)$ باستخدام العلاقة الأصلية.

الآن دعونا نقوم بحساب قيم $f(0)$ و $f(1)$. بالحل الرياضي، سنجد أن $f(0) = 0$ و $f(1) = \frac{3}{2}$.

بعد حساب هذه القيم، يمكننا استخدامها في العلاقة الأصلية:
$f(x) + 2f(1 – x) = 3x^2$

وبتعويض $x = 4$، نحصل على:
$f(4) + 2f(-3) = 3 \times 4^2$

باستخدام قيم $f(0)$ و $f(1)$ التي حسبناها سابقًا، نستنتج أن قيمة $f(4)$ هي 24.

نعود إلى المعادلة الأصلية:

$f(x) + 2f(1 – x) = 3x^2$

لحل هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية:

1. استخدام القيمة $x = 1$
قمنا بتعويض $x = 1$ للحصول على معلومات إضافية عن الدالة. هذا يؤدي إلى:

$f(1) + 2f(0) = 3$

2. استخدام القيمة $x = 0$
ثم، قمنا بتعويض $x = 0$ للحصول على معلومات أخرى:

$f(0) + 2f(1) = 0$

3. حل النظام المعادلاتي
حللنا هذا النظام المعادلاتي للعثور على قيم $f(0)$ و $f(1)$. بحسب الحل، وجدنا أن $f(0) = 0$ و $f(1) = \frac{3}{2}$.

4. استخدام القيم في العلاقة الأصلية
قمنا بتعويض هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$f(x) + 2f(1 – x) = 3x^2$

5. حساب قيمة $f(4)$
أخيرًا، قمنا بتعويض $x = 4$ لحساب قيمة $f(4)$:

$f(4) + 2f(-3) = 3 \times 4^2$

وباستخدام القيم $f(0)$ و $f(1)$ التي حسبناها سابقًا، توصلنا إلى أن قيمة $f(4)$ هي 24.

القوانين المستخدمة:

1. تعويض القيم في الدوال: استخدمنا هذه الخطوة لتعويض قيم محددة للمتغير في الدالة.

2. حل النظام المعادلاتي: قمنا بحل نظام من معادلتين للعثور على القيم المطلوبة.

3. قوانين الجبر: تضمنت هذه القوانين مثل قانون توزيع الضرب وقوانين الجمع والطرح.