حل مسألة رياضية: خط عابر للأصل

نقاط (x، 2) و (4، y) تقعان على الخط “كاي” في المستوى الإحداثي. إذاً، إذا كان هذا الخط يمر عبر الأصل (نقطة (0، 0)) وله ميل يساوي 1/4، يمكننا إعادة صياغة المعادلة الخطية لهذا الخط.

الميل (الميل) للخط يُعرف كنسبة التغير في القيمة على مدى التغير في القيمة الأخرى. في هذه الحالة، الميل هو 1/4. لحساب الميل، يمكن استخدام العلاقة:

$\text{الميل} = \frac{\text{التغيير في } y}{\text{التغيير في } x}$

نعلم أن الخط يمر عبر الأصل، لذا النقطة (0، 0) تقع على الخط. يمكننا استخدام هذه النقطة لحساب الميل:

$\frac{2 – 0}{x – 0} = \frac{1}{4}$

بحل هذه المعادلة، نحصل على قيمة x:

$\frac{2}{x} = \frac{1}{4}$

$x = 8$

الآن، بمعرفة قيمة x، يمكننا استخدام أي من النقطتين المعطاة لحساب قيمة y. لنقم باستخدام النقطة (x، 2):

$(8, 2)$

إذاً، نحصل على:

$x – y = 8 – y = 0$

$y = 8$

إذاً، القيم المطلوبة هي x = 8 و y = 8، وبالتالي المعادلة المطلوبة هي:

$x – y = 8 – 8 = 0$

في هذه المسألة، نتعامل مع نقطتين على خط في المستوى الإحداثي، ونحن نعلم أن هذا الخط يمر عبر الأصل (نقطة (0، 0)) ولديه ميل يبلغ 1/4. لحل المسألة، سنستخدم قانون الميل ونعتمد على معرفتنا بأن النقطة (0، 0) تقع على الخط.

قانون الميل يعطينا العلاقة بين التغيير في قيمة $y$ والتغيير في قيمة $x$ على الخط. يمكننا التعبير عن هذا القانون في معادلة كما يلي:

$\text{الميل} = \frac{\text{التغيير في } y}{\text{التغيير في } x}$

نستخدم هذه العلاقة لحساب الميل باستخدام النقطة (0، 0) وأحد النقطين الأخرى (x، 2) التي تقع على الخط. هكذا يكون الحساب:

$\frac{2 – 0}{x – 0} = \frac{1}{4}$

حيث قمنا بتحديد الميل بين النقطة (0، 0) والنقطة (x، 2). بحل هذه المعادلة، نجد قيمة $x$ التي تكون 8.

ثم نستخدم القيمة المعروفة لـ $x$ لحساب قيمة $y$ باستخدام أحد النقطين الأخرى (4، y). نحصل على المعادلة التالية:

$(8, 2)$

$8 – y = 0$

ومن هنا، نجد أن $y$ يكون أيضًا 8.

بالتالي، الحل النهائي للمسألة هو $x = 8$ و $y = 8$، والمعادلة الممثلة للخط هي $x – y = 0$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الميل: $\text{الميل} = \frac{\text{التغيير في } y}{\text{التغيير في } x}$
2. معادلة الخط العامة: $y – y_1 = m(x – x_1)$، حيث $(x_1, y_1)$ نقطة على الخط و $m$ الميل.